Вопрос 29. Понятие диф ур-я, основные определения.

ДУ называют ур-ие, связывающее искомую ф-ию одной или нескольких переменных, эти переменные, и производные различных порядков данной ф-ии.

Решением ДУ называется такая ф-ия, которую при подстановке её в это ур-ие обращает его в тождество.

ДУ первого порядка наз. ур-ие содержащее переменную х, неизвестную ф-ию y=f(x) и её производную y`=f`(x)

ДУ первого порядка наз. ур-ем с разделяющимися переменными, если оно м/б представлено в виде

dy/dx=f(x)g(y)

Для решения такого ур-ия его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и ф-ии переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного рав-ва:

dy/g(y)=f(x)·dx → ∫ dy/g(y)=∫ f(x)·dx

дифф ур. Осн понятия.

Общий вид диф уравнения F(x, y, y’)=0 y’=f(x,y) (1).

Решением дифференциальное уравнение первого порядка наз-тся всякая функция y=(x), которая будучи подставлена в данное уравнение обращает его в тожд.

’(x)= f (x, (x)); Задача Коши для диф. ур 1пор.

Требуется найти решение диф. ур-я (1) удовлетворяющего следующему условию (2). Теорема Коши. Пусть задана на плоскости XOY некоторая обл. Д и задано диф. ур-е разрешённое относительно производной, тогда если функция f(x, y) и её частная производная непрерывны в обл. Д, и некоторая фиксированная точка обл. Д, то существует и единственная функция y=(x) являющаяся решением (1) и такая, которая в т. принимает значение , т.е. уд-щая зад нач условию . Т.е. если существует решение диф. ур-я, то таких решений беск мн-во. График функции явл-ся решением диф. ур-я принято называть инт кривой, процесс реш-я – инт-нием. Точку в плоскости XOY называют особой точкой диф. ур-я если в этой т. не выполняется условие теоремы Коши, т.е. особая т. это такая т. через которую может вообще не проходить ни одной интегральной кривой, либо проходить множество. Решения диф. ур-я в каждой т. которого нарушается условие единственности из теоремы Коши, принято называть особым решением диф. ур-я. График особого решения называется особой кривой. Определение общего решения диф. ур-я 1 порядка:б Функция y=(x, C), где С произвольная константа, называется общим решением диф. ур-я (1) если выполнены следующие условия:

1. Функция y=(x, C) является решением ур-я (1) при любом значении произвольной константы С;

2. Какова бы ни была т.  Д найдётся такое значение произвольной константы , что функция y=(x, ) удовлетворяет заданному начальному условию, т.е. 