Расходимость гармонического ряда

Гармонический ряд – это ряд вида: (4)

n-ый член гармонического ряда стремиться к 0 при .

Покажем, что гармонический ряд расходиться. Выделим в гармоническом ряде смежные группы членов. Рассмотрим вспомогательный ряд(4’). Заменим каждую группу выделенных членов min членом.

Члены ряда (4’) не больше соотношения членов ряда (4) по признаку сравнения из расходимости ряда (4’) ,будет исходить расходимость ряда(4).

Выпишем сумму вспомогательных частей ряда (4’)

Замечаем, что частичная сумма (5)

Из выражения (5) видим, что увеличивается n частичная сумма ряда(4’), стремиться к бесконечности ряд (4’) расходиться расходиться исходный гармонический ряд.

Пример показывает, что стремление к 0 n-го члена ряда является только необходимым условием и не является достаточным условием сходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости рядов с нулевыми членами.

Признак Даланбера:

Теорема: Если ряд обладает свойством, что равен конечному числу l если l<1 то ряд (1) сходиться, если l>1, то ряд(1) расходиться.

Доказательство:

Докажем сходимость ряда (1) при выполнении условия l<1. Выберем число l<q<1 возьмём в качестве положительную величину (q-l), согласно определению предела последовательности для заданного числа , найдется номер N такой, что для ,будет выполняться неравенство . Последнее неравенство запишем:

В силу правого неравенства заключаем, что ряд положительными членами:

(2)

Неравенство (2) выполняется для всех номеров . Исходя из (2) запишем последовательность неравенств

Рассмотрим вспомогательный ряд:

(3)

Видим, что ряд (3) является геометрической прогрессией со знаменателем q<1

Ряд (3) сходиться. Соотношение (2) показывает что члены ряда (3) не меньше членов ряда (1) с номерами отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ряда, то из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (1)

Докажем 2-е утверждение. Пусть l – конечное число >1. Выберем в качестве - положительную величину l-1. Тогда по определению предела найдется такой номер N что для всех номеров ,будет выполняться условие:

. В силу левого неравенства заключаем, что для всех номеров n будет

Из (4) следует что для всех номеров выполняется неравенство (4’)

Если величина то переходя в (4’) к пределу получаем , что

Согласно необходимому признаку сходимости ряда, расходимость ряда (1)

Если то исходя из неравенства (4) следует

Переходя в (4’’) к пределу , откуда согласно необходимому признаку сходимости ряда следует, расходимость ряда (1)

Пример:

Исследовать на сходимость ряда

По принципу Даланпера, заданный ряд сходиться.