Устойчивость положения равновесия (устойчивость по первому приближению)

Работа механических, электрических и других приборов, описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, они обладают бесконечным множеством решений. Чтобы выделить единственное решение, задаются начальными условиями. На практике работа приборов осуществляется на конкретных стационарных решениях. Бесконечное множество решений на первый взгляд не просматривается. Это объясняется тем, что в процессе своей работы прибор выходит на стационарный режим, забывая о своих начальных условиях.

Пример:

П ри работе часов, маятник движется со строго-определенной амплитудой, не смотря на то, что при запуске часов, отклонение маятника могло быть произвольным. Если отклонение маятника мало, то после нескольких колебаний, маятник придет в состояние покоя. Если отклонить маятник достаточно велико, то после некоторого периода времени, колебания маятника установятся на некотором стационарном режиме. Таким образом, видим, что при работе часов существует два стационарных режима. Состояние покоя и состояние установившихся колебаний. Все остальные возможные ситуации с течением времени приближаются к одному из названых стационарных режимов. Пусть состояние некоторого прибора описывается тремя переменными, так что смещение состояния прибора со временем описывается тремя функциями:

;

Пусть работа прибора описывается системой трех дифференциальных уравнений вида:

(1)

В правой части системы (1) отсутствует переменная t. Такая ситуация называется автономной. Отсутствие переменной t говорит о том, что условия работы приборы с течением времени не меняются.

Пусть состояние равновесия прибора, т.е. состояние в котором условия работы прибора не изменяется с течением времени, описываются значениями:

Если состояния прибора не изменяются с течением времени, то:

Из системы (1) вытекает, что:

(2)

Пусть в некоторый момент времени состояние прибора изменится на величину

(3)

Для того, чтобы определить дальнейшее поведение прибора нужно найти решение системы (1) при начальных условиях (3).

Определение: Составленное равновесие называется устойчивым по Ляпунову.

Составим равновесия после бесконечно малого восхода из этого состояния, объект(прибор) продолжает оставаться в бесконечной близости от него, на протяжении всего дальнейшего времени, другими словами: при бесконечно малых величинах , , , величины , , должны оставаться бесконечно малыми, при изменении времени от момента до бесконечности.

Подставим в систему (1) вместо x,y,z величины . Т.к. , , конкретные величины, то систему (1) можно представить в виде:

(4)

Разложили правые части системы (4) по формуле Тейлора в окрестности точки и ограничимся линейными числами относительно , , .

С учетом соотношения (2) получим:

Система (5) называется первым приближением системы (1). Видим, что система (5) является системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Характеристический многочлен в системе (5) определяется соотношением:

(6)

Если является корнем многочлена (6). Решение системы (5) будет выражаться через функцию:

Видим, что . Т.о. замечаем, что если , то .

Если , то .

Таким образом, если все корни характеристического многочлена имеют отрицательную вещественную часть, то составленные равновесия , , устойчивы по Ляпунову, кроме того, при малых величинах , , решением , , .

В этом случае говорят, что решение асимптотически устойчиво. Если среди корней многочлена (6) имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то положение равновесия называется неустойчивым по Ляпунову. Заметим, что наличие в уравнении (6) кратных корней не изменит сформулированного утверждения, т.к. величина при отрицательном убывает быстрее, чем возрастает степенная функция . Если вещественная часть равна 0, то по первому приближению нельзя сделать выводов по устойчивости положения равновесия. В этом случае потребуется рассмотреть дополнительные слагаемые в формуле Тейлора.

Ряды

Пусть задана числовая последовательность , тогда выражение (1) называется числовым рядом, при этом величины называются членами ряда.

Определение: Сумма конечного числа n, первых членов числового ряда называется частичной суммой ряда:

Если существует предел последовательности частичных сумм: где S конечное число, то говорят, что ряд сходится и его сумма равна S. Если предела частичных сумм не существует, то ряд расходится.

Теорема: Если сходится ряд, получаемый из ряда 1, отбрасыванием конечного числа членов, то сходится и исходный ряд 1, обратно, если ряд 1 сходится, то сходится и любой другой ряд, получаемый из ряда 1 отбрасыванием конечного числа членов.

Доказательство:

- частичная сумма ряда.

- сумма отброшенных членов.

- частичная сумма ряда, получаемого из ряда 1, отбрасыванием k членов, тогда имеет место.

Видим, что величина не зависит от n. Т.о. из выражения (2) следует, если существует предел от , то существует предел:

Из выражения (2) вытекает и обратное утверждение: и если существует предел при , то существует и предел на . Т.о. показали, что отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ряда.

Пример:

Видим, что этот ряд сходится, т.к. отбросив от него первых 3 члена, получим геометрическую прогрессию со знаменателем q, следовательно, сходится и исходный ряд.