Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Уравнение 1-го порядка можно заменить системой:

Справедливо и обратное утверждение:

Нормированная система n уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка n.

Случай системы (2). Уравнение n-го порядка можно заменить системой:

Пример:

Уравнение 3-го порядка:

Справедливо и обратное утверждение:

Нормальная система n уравнений 1-го порядка эквивалентна одному уравнению порядка n

Дифференцируем первое из уравнений (4) по x

Заменим через их выражение

Получим выражение вида:

Полученное уравнение снова дифференцируем по x, принимая во внимание (4), получим.

Или

Продолжая этот же процесс, получим далее:

Из системы А из первого уравнения системы (4), (4’),(4’’) можно определить n-1 величину через

Внося это выражение в последнее уравнение системы (А), получим уравнение вида:

Т.е. одно уравнение первого порядка.

Пример: Привести следующую систему к одному уравнению высшего порядка и найти их общее решение: