Вопрос 9.Правило Лопиталя.

Пусть выполнены следующие условия:

1. Функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в выколотой окрестности точки a.

2. (1)

3. g(x) и f(x) не равны нулю в этой выколотой окрестности.

Если при этом существует (2)

То существует и (3)

П ричем, они равны между собой.(4)

Д оказательство: Доопределим функции f(x) и g(x) в точке x=a, положив f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отрезок между числами a и x, где точка из упомянутой в условии выколотой окрестности. Для определенности будем считать, что x<a. Обе функции на отрезке [x,a] неперывны, а в интервале (x,a) дифференцируемы, т.е. удовлетворяют условиям теоремы Коши. Следовательно, Существует такая точка с(x,a), что выполняется равенство(5)

Так как f(a)=g(a)=0. При ха будет са, потому x<c<a.

П о условию теоремы существует (2). Здесь х можно заменить любой другой буквой, в частности с. Переходя к пределу в равенстве (5) при ха, получим

Или, что то же самое (4).

Правило Лопиталя

Случай 1. Неопределённость 0/0

Теорема.

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а. Пусть f(a)=0 и g(a)=0. Тогда =

Док-во:

Применим т.Коши к отрезку [a,x].

Тогда = , где a<c<x

(т.к. f(a)=0; g(a)=0)

Пусть х→а. Тогда с→а

= =

Случай 2. Неопределённость ∞/∞

Теорема.

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а кроме самой точки а. Пусть

Тогда

=