III. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейными дифференциальными уравнениями 1-го порядка называются уравнения вида:

(1), где A,B,C – заданные непрерывные функции, причём, функция A отлична от 0.

Дифференциальное уравнение (1) может быть переписано в виде:

(1’)

Будем искать решения уравнения (1’) в виде произведения двух функций

Подставляя выписанное выражение в (1’) получим

Приведем подобные по U в левой части выписанного выражения:

Подберём функцию V так чтобы выражение стоящее в квадратных скобках обращалось в 0: V’+P(x)V=0

Для этого потребуется решить уравнение с разделяющимися переменными:

Для того, чтобы занулить выражение в квадратных скобках достаточно взять произвольное значение параметра

Примем ,тогда используя найденные выражения для функции V придём к дифференциальному уравнению:

Снова получили уравнение с разделяющимися переменными, разделяя переменные находим:

Интегрируя, находим: ,таким образом решение уравнения (1) получается в виде:

(2)

Формула (2) даёт решение линейного уравнения (1’). Формулу (2) обычно не запоминают, а запоминают алгоритм её получения.

Пример:

Найти решение дифференциального уравнения: