Свойства линейной оболочки

1) Линейная оболочка содержит само множество X.

2) Если линейное пространство W содержит множество X, то:

а) пространство W содержит и его линейную оболочку L(X);

б) L(X) ‒ линейное подпространство пространства W.

Пример: Найти линейную оболочку множества решений системы уравнений:

Решение: Ранг матрицы коэффициентов системы уравнений равен 2. Выберем свободными переменными х₂ и х₄. Тогда общее решение однородной системы уравнений имеет вид

где c₁ , c₂ ϵ R .

Векторы £ = (‒1, 1, 0, 0) и η = (1, 0, ‒1, 1) образуют фундаментальный набор решений однородной системы. Любое решение системы является их линейной комбинацией. Значит, линейная оболочка векторов £ и η является множеством решений однородной системы уравнений,

т.е. L(£,η) =где,ϵR.