Критерий Вилкоксона и проверка гипотезы об однородности двух выборок

Критерий Вилкоксона служит для проверки однородности двух независимых выборок: , и . Достоинство этого критерия состоит в том, что он применим к случайным величинам, распределения которых неизвестны; требуется лишь, чтобы величины были непрерывными.

Если выборки однородны, то считают, что они извлечены из одной и той же генеральной совокупности и, следовательно, имеют одинаковые, причем неизвестные, непрерывные функции распределения и .

Таким образом, нулевая гипотеза состоит в том, что при всех значениях аргумента (обозначим его через ) функции распределения равны между собой: .

Конкурирующими являются следующие гипотезы: , и .

Заметим, что принятие конкурирующей гипотезы означает, что . Действительно, неравенство равносильно неравенству . Отсюда легко получить, что . Другими словами, вероятность того, что случайная величина X превзойдет фиксированное действительное число , больше, чем вероятность случайной величине Y оказаться большей, чем , в этом смысле .

Аналогично, если справедлива конкурирующая гипотеза , то .

Далее предполагается, что объем первой выборки меньше (не больше) объема второй: ; если это не так, то выборки можно перенумеровать (поменять местами).

А. Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем обеих выборок не превосходит 25.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу об однородности двух независимых выборок объемов и при конкурирующей гипотезе , надо:

1) расположить варианты обеих выборок в возрастающем порядке, т. е. в виде одного вариационного ряда, и найти в этом ряду наблюдаемое значение критерия – сумму порядковых номеров вариант первой выборки;

2) найти по соответствующей таблице нижнюю критическую точку , где ;

3) найти верхнюю критическую точку по формуле

.

Если или – нулевую гипотезу отвергают.

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе надо найти по таблице нижнюю критическую точку , где .

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе надо найти верхнюю критическую точку: .

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. Если несколько вариант только одной выборки одинаковы, то в общем вариационном ряду им приписывают обычные порядковые номера (совпавшие варианты нумеруют так, как если бы они были различными числами); если же совпадают варианты разных выборок, то всем им присваивают один и тот же порядковый номер, равный среднему арифметическому порядковых номеров, которые имели бы эти варианты до совпадения.

Б. Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем хотя бы одной из выборок превосходит 25.

1. При конкурирующей гипотезе нижняя критическая точка

,

где ; находят по таблице функции Лапласа по равенству ; знак означает целую часть числа .

В остальном правило 1, приведенное в п. А, сохраняется.

2. При конкурирующих гипотезах и нижнюю критическую точку находят по той же формуле что и для случая 1, положив ; соответственно находят по таблице функции Лапласа по равенству . В остальном правила 2—3, приведенные в п. А, сохраняются.