Ряды Фурье для чётных и нечётных функций

Из определения четной и нечетной функции следует, что если ψ(x) – четная функция, то

.

_{Действительно,}

_{так как по определению четной функции ψ(- x) = ψ(x).}

_{Аналогично можно доказать, что если ψ(x) – нечетная функция, то}

_{Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ѓ(x), то произведение ѓ(x) ·coskx есть функция также нечетная, а ѓ(x) · sinkx – четная; следовательно,}

₍₂₁₎

_{т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».}

_{Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение ѓ(x) · sinkx есть функция нечетная, а ѓ(x) · coskx – четная, то:}

₍₂₂₎

_{т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».}

_{Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной. Очевидно, что не всякая периодическая функция является четной или нечетной.}

Пример:

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию  с периодом T = 2 на отрезке [- ; ].

 Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:

 Получаем:

.

   Построим графики заданной функции и ее разложения в ряд Фурье, ограничившись первыми четырьмя членами ряда.