Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Известно, что решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами выше первого порядка в общем случае не выражаются через элементарные функции. Наиболее употребительный прием получения решения является поиск решения в виде степенного ряда. Продемонстрируем процедуру поиска решений, для случая решения линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Рассмотрим дифференциальное уравнение в виде:

Предположим, что функции разлагаются в степенные ряды, пусть:

Где коэффициенты и , считаются известными числовыми значениями. Будем искать решение уравнения (1) также в виде степенного ряда:

Подставим выписанные степенные ряды в дифференциальное уравнение (1):

Подставляя в (1), найдем:

+

Поскольку степенные ряды в области сходимости сходятся абсолютно, то их можно перемножить. Заметим, что соотношение должно выполняться тождественно для всех значений х. Подставим в величину х=0, получим:

Продифференцируем тождество по переменной х:

+

Подставим в полученное выражение величину х=0, получим:

Поступая аналогично, получим также уравнение:

Видим, что система (2) есть система линейных однородных уравнений относительно переменных . Видим, что система (2) имеет форму трапеции следовательно это система является неопределенной. Фундаментальная система решений состоит из двух равномерных векторов. Выберем величины , -свободными переменными, тогда из первого уравнения находим величину , из второго , и т.д.

Обычно полагают , =0, для первого решения, и , =1 для второго решения. С учетом степенного ряда для функции у,

Если начальные условия имеют вид:

, то решение будет определяться в виде:

Пример:

Рассмотрим уравнение:

Будем искать решение в виде:

Здесь неизвестными величинами являются коэффициенты ряда . Приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим:

Полагая, , , , , , , , , , .

Замечаем, что отличными от 0 будут те коэффициенты, у которых номер к делится на 3. в это случае получаем:

.

Решение будет в этом случае иметь вид:

Полагая, , , придем к решению : .

Общее решение исследуемого уравнения можно записать в виде: