645145

Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа

Вернемся к поставленной задаче: проверить при заданном уровне значимости нулевую гипотезу о равенстве нескольких средних нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями. Покажем, что решение этой задачи сводится к сравнению факторной и остаточной дисперсий по критерию Фишера—Снедекора.

1. Пусть нулевая гипотеза о равенстве нескольких средних (далее будем называть их групповыми) правильна. В этом случае факторная и остаточная дисперсии являются несмещенными оценками неизвестной генеральной дисперсии и, следовательно, различаются незначимо. Если сравнить эти оценки по критерию , то очевидно, критерий укажет, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий следует принять.

Таким образом, если гипотеза о равенстве групповых средних правильна, то верна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

2. Пусть нулевая гипотеза о равенстве групповых средних ложна. В этом случае с возрастанием расхождения между групповыми средними увеличивается факторная дисперсия, а вместе с ней и отношение . В итоге окажется больше и, следовательно, гипотеза о равенстве дисперсий будет отвергнута.

Таким образом, если гипотеза о равенстве групповых средних ложна, то ложна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

Легко доказать от противного справедливость обратных утверждений: из правильности (ложности) гипотезы о дисперсиях следует правильность (ложность) гипотезы о средних.

Итак, для того чтобы проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, достаточно проверить по критерию нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий. В этом и состоит метод дисперсионного анализа.

Замечание 1. Если факторная дисперсия окажется меньше остаточной, то уже отсюда следует справедливость гипотезы о равенстве групповых средних и, значит, нет надобности прибегать к критерию .

Замечание 2. Если нет уверенности в справедливости предположения о равенстве дисперсий рассматриваемых совокупностей, то это предположение следует проверить предварительно, например по критерию Кочрена.

Если число испытаний на каждом из уровней различны, а именно на , на , …, на , то используют следующие формулы:

где – сумма квадратов наблюдавшихся значений признака на уровне , – суммы наблюдавшихся значений признака на уровне , – общее число испытаний (объем выборки).

Таблица значений функции .

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3725	0,3712	0,3697
0,4	0,3683	0,3668	0,3653	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444

1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551

2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0396	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046

3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010	0,0010	0,0009	0,0009
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001	0,0001

Таблица значений функции

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,00	0,0000	0,51	0,1950	1,02	0,3461	1,53	0,4370	2,04	0,4793	3,06	0,498893	4,08	0,499977
0,01	0,0040	0,52	0,1985	1,03	0,3485	1,54	0,4382	2,06	0,4803	3,08	0,498965	4,10	0,499979
0,02	0,0080	0,53	0,2019	1,04	0,3508	1,55	0,4394	2,08	0,4812	3,10	0,499032	4,12	0,499981
0,03	0,0120	0,54	0,2054	1,05	0,3531	1,56	0,4406	2,10	0,4821	3,12	0,499096	4,14	0,499983
0,04	0,0160	0,55	0,2088	1,06	0,3554	1,57	0,4418	2,12	0,4830	3,14	0,499155	4,16	0,499984
0,05	0,0199	0,56	0,2123	1,07	0,3577	1,58	0,4429	2,14	0,4838	3,16	0,499211	4,18	0,499985
0,06	0,0239	0,57	0,2157	1,08	0,3599	1,59	0,4441	2,16	0,4846	3,18	0,499264	4,20	0,499987
0,07	0,0279	0,58	0,2190	1,09	0,3621	1,60	0,4452	2,18	0,4854	3,20	0,499313	4,22	0,499988
0,08	0,0319	0,59	0,2224	1,10	0,3643	1,61	0,4463	2,20	0,4861	3,22	0,499359	4,24	0,499989
0,09	0,0359	0,60	0,2257	1,11	0,3665	1,62	0,4474	2,22	0,4868	3,24	0,499402	4,26	0,499990
0,10	0,0398	0,61	0,2291	1,12	0,3686	1,63	0,4484	2,24	0,4875	3,26	0,499443	4,28	0,499991
0,11	0,0438	0,62	0,2324	1,13	0,3708	1,64	0,4495	2,26	0,4881	3,28	0,499481	4,30	0,499991
0,12	0,0478	0,63	0,2357	1,14	0,3729	1,65	0,4505	2,28	0,4887	3,30	0,499517	4,32	0,499992
0,13	0,0517	0,64	0,2389	1,15	0,3749	1,66	0,4515	2,30	0,4893	3,32	0,499550	4,34	0,499993
0,14	0,0557	0,65	0,2422	1,16	0,3770	1,67	0,4525	2,32	0,4898	3,34	0,499581	4,36	0,499993
0,15	0,0596	0,66	0,2454	1,17	0,3790	1,68	0,4535	2,34	0,4904	3,36	0,499610	4,38	0,499994
0,16	0,0636	0,67	0,2486	1,18	0,3810	1,69	0,4545	2,36	0,4909	3,38	0,499638	4,40	0,499995
0,17	0,0675	0,68	0,2517	1,19	0,3830	1,70	0,4554	2,38	0,4913	3,40	0,499663	4,42	0,499995
0,18	0,0714	0,69	0,2549	1,20	0,3849	1,71	0,4564	2,40	0,4918	3,42	0,499687	4,44	0,499995
0,19	0,0753	0,70	0,2580	1,21	0,3869	1,72	0,4573	2,42	0,4922	3,44	0,499709	4,46	0,499996
0,20	0,0793	0,71	0,2611	1,22	0,3888	1,73	0,4582	2,44	0,4927	3,46	0,499730	4,48	0,499996
0,21	0,0832	0,72	0,2642	1,23	0,3907	1,74	0,4591	2,46	0,4931	3,48	0,499749	4,50	0,499997
0,22	0,0871	0,73	0,2673	1,24	0,3925	1,75	0,4599	2,48	0,4934	3,50	0,499767	4,52	0,499997
0,23	0,0910	0,74	0,2704	1,25	0,3944	1,76	0,4608	2,50	0,4938	3,52	0,499784	4,54	0,499997
0,24	0,0948	0,75	0,2734	1,26	0,3962	1,77	0,4616	2,52	0,4941	3,54	0,499800	4,56	0,499997
0,25	0,0987	0,76	0,2764	1,27	0,3980	1,78	0,4625	2,54	0,4945	3,56	0,499815	4,58	0,499998
0,26	0,1026	0,77	0,2794	1,28	0,3997	1,79	0,4633	2,56	0,4948	3,58	0,499828	4,60	0,499998
0,27	0,1064	0,78	0,2823	1,29	0,4015	1,80	0,4641	2,58	0,4951	3,60	0,499841	4,62	0,499998
0,28	0,1103	0,79	0,2852	1,30	0,4032	1,81	0,4649	2,60	0,4953	3,62	0,499853	4,64	0,499998
0,29	0,1141	0,80	0,2881	1,31	0,4049	1,82	0,4656	2,62	0,4956	3,64	0,499864	4,66	0,499998
0,30	0,1179	0,81	0,2910	1,32	0,4066	1,83	0,4664	2,64	0,4959	3,66	0,499874	4,68	0,499999
0,31	0,1217	0,82	0,2939	1,33	0,4082	1,84	0,4671	2,66	0,4961	3,68	0,499883	4,70	0,499999
0,32	0,1255	0,83	0,2967	1,34	0,4099	1,85	0,4678	2,68	0,4963	3,70	0,499892	4,72	0,499999
0,33	0,1293	0,84	0,2995	1,35	0,4115	1,86	0,4686	2,70	0,4965	3,72	0,499900	4,74	0,499999
0,34	0,1331	0,85	0,3023	1,36	0,4131	1,87	0,4693	2,72	0,4967	3,74	0,499908	4,76	0,499999
0,35	0,1368	0,86	0,3051	1,37	0,4147	1,88	0,4699	2,74	0,4969	3,76	0,499915	4,78	0,499999
0,36	0,1406	0,87	0,3078	1,38	0,4162	1,89	0,4706	2,76	0,4971	3,78	0,499922	4,80	0,499999
0,37	0,1443	0,88	0,3106	1,39	0,4177	1,90	0,4713	2,78	0,4973	3,80	0,499928	4,82	0,499999
0,38	0,1480	0,89	0,3133	1,40	0,4192	1,91	0,4719	2,80	0,4974	3,82	0,499933	4,84	0,499999
0,39	0,1517	0,90	0,3159	1,41	0,4207	1,92	0,4726	2,82	0,4976	3,84	0,499938	4,86	0,499999
0,40	0,1554	0,91	0,3186	1,42	0,4222	1,93	0,4732	2,84	0,4977	3,86	0,499943	4,88	0,499999
0,41	0,1591	0,92	0,3212	1,43	0,4236	1,94	0,4738	2,86	0,4979	3,88	0,499948	4,90	0,500000
0,42	0,1628	0,93	0,3238	1,44	0,4251	1,95	0,4744	2,88	0,4980	3,90	0,499952	4,92	0,500000
0,43	0,1664	0,94	0,3264	1,45	0,4265	1,96	0,4750	2,90	0,4981	3,92	0,499956	4,94	0,500000
0,44	0,1700	0,95	0,3289	1,46	0,4279	1,97	0,4756	2,92	0,4982	3,94	0,499959	4,96	0,500000
0,45	0,1736	0,96	0,3315	1,47	0,4292	1,98	0,4761	2,94	0,4984	3,96	0,499963	4,98	0,500000
0,46	0,1772	0,97	0,3340	1,48	0,4306	1,99	0,4767	2,96	0,4985	3,98	0,499966	5,00	0,500000
0,47	0,1808	0,98	0,3365	1,49	0,4319	2,00	0,4772	2,98	0,4986	4,00	0,499968	5,02	0,500000
0,48	0,1844	0,99	0,3389	1,50	0,4332	2,01	0,4778	3,00	0,4987	4,02	0,499971	5,04	0,500000
0,49	0,1879	1,00	0,3413	1,51	0,4345	2,02	0,4783	3,02	0,4987	4,04	0,499973	5,06	0,500000
0,50	0,1915	1,01	0,3438	1,52	0,4357	2,03	0,4788	3,04	0,4988	4,06	0,499975	5,08	0,500000

Таблица значений распределения

	0,95	0,99	0,999		0,95	0,99	0,999
5	2,5706	4,0321	6,8685	45	2,0141	2,6896	3,5203
6	2,4469	3,7074	5,9587	50	2,0086	2,6778	3,4960
7	2,3646	3,4995	5,4081	55	2,0040	2,6682	3,4765
8	2,3060	3,3554	5,0414	60	2,0003	2,6603	3,4602
9	2,2622	3,2498	4,7809	65	1,9971	2,6536	3,4466
10	2,2281	3,1693	4,5868	70	1,9944	2,6479	3,4350
11	2,2010	3,1058	4,4369	75	1,9921	2,6430	3,4249
12	2,1788	3,0545	4,3178	80	1,9901	2,6387	3,4164
13	2,1604	3,0123	4,2209	85	1,9883	2,6349	3,4086
14	2,1448	2,9768	4,1403	90	1,9867	2,6316	3,4019
15	2,1315	2,9467	4,0728	95	1,9852	2,6286	3,3958
16	2,1199	2,9208	4,0149	100	1,9840	2,6259	3,3905
17	2,1098	2,8982	3,9651	105	1,9828	2,6235	3,3856
18	2,1009	2,8784	3,9217	110	1,9818	2,6213	3,3811
19	2,0930	2,8609	3,8833	115	1,9808	2,6193	3,3772
20	2,0860	2,8453	3,8496	120	1,9799	2,6174	3,3734
21	2,0796	2,8314	3,8193	125	1,9791	2,6157	3,3701
22	2,0739	2,8188	3,7922	130	1,9784	2,6142	3,3670
23	2,0687	2,8073	3,7676	135	1,9777	2,6127	3,3641
24	2,0639	2,7970	3,7454	140	1,9771	2,6114	3,3613
25	2,0595	2,7874	3,7251	150	1,9759	2,6090	3,3565
26	2,0555	2,7787	3,7067	160	1,9749	2,6069	3,3523
27	2,0518	2,7707	3,6895	170	1,9740	2,6051	3,3487
28	2,0484	2,7633	3,6739	180	1,9732	2,6034	3,3453
29	2,0452	2,7564	3,6595	190	1,9725	2,6020	3,3424
30	2,0423	2,7500	3,6460	200	1,9719	2,6006	3,3398
35	2,0301	2,7238	3,5911	250	1,9695	2,5956	3,3299

Таблица значений распределения

n				n	
n	0,95	0,99	0,999	n	0,95	0,99	0,999
5	1,37	2,67	5,64	20	0,37	0,58	0,88
6	1,09	2,01	3,88	25	0,32	0,49	0,73
7	0,92	1,62	2,98	30	0,28	0,43	0,63
8	0,8	1,38	2,42	35	0,26	0,38	0,56
9	0,71	1,2	2,06	40	0,24	0,35	0,5
10	0,65	1,08	1,8	45	0,22	0,32	0,46
11	0,59	0,98	1,6	50	0,21	0,3	0,43
12	0,55	0,9	1,45	60	0,188	0,269	0,38
13	0,52	0,83	1,33	70	0,174	0,245	0,34
14	0,48	0,78	1,23	80	0,161	0,226	0,31
15	0,46	0,73	1,15	90	0,151	0,211	0,29
16	0,44	0,7	1,07	100	0,143	0,198	0,27
17	0,42	0,66	1,01	150	0,115	0,16	0,211
18	0,4	0,63	0,96	200	0,099	0,136	0,185
19	0,39	0,6	0,92	250	0,089	0,12	0,162

Содержание