logo search
matan

Теор Признак Лейбница

Если у зн.ч. ряда n-й член стремится к 0 монотонно убывая, то ряд сх-ся, сумма ряда им. знак 1го члена ряда и не превосх. его по модулю.

 Пусть у зн.ч. ряда a1+a2-…-an+… lim |an|=0, |a1||a2||a3||an|=cn тогда ряд запис. в виде с1-с2+с3-… (1), если a10 и –с1+с2-с3+… (2) если а10.

а10. Для частич. сумм с чёт. номерами n=2k имеем S2k=c1-c2+c3-c4+…+c2k-1-c2k=

{(c1-c2)+(c3-c4)+…+ c2k-1-c2k (3)

{c1-(c2-c3)-(c4-c5)-…-c2k (4). Т.к. с1с2…, то все скобки 0, поэтому (3) S2k0, посл. {S2k} возрастает: S2k+2 = S2k+ (c2k+1-c2k+2) S2k. (4) S2kc1. Т.о. {S2k} возрастает и ограничена сверху она имеет конеч. lim S, причём 0 S2kс10 Sс1.

Вопрос 46. Степенные ряды. Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т.е. так называемый степенной ряд:  (2.2) Действительные (или комплексные) числа   называются коэффициентами ряда (2.2),  – действительная переменная. Ряд (2.2) разложен по степеням х. Рассматривают также степенной ряд, разложенный по степеням  , т.е. ряд вида , (2.3) где   – некоторое постоянное число. Ряд (2.3) легко приводится к виду (2.2), если положить  . Поэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степенными рядами вида (2. 2). Область сходимости степенного ряда (2.2) содержит по крайней мере одну точку х = 0 (ряд (2.3) сходится в точке  ).

Формулы и ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды.

Ряды Тейлора и Макларена.

; f(x)=Sn(x)+Rn(x) (6); f(x)-Sn(x)=Rn(x) (6). Потребуем, чтобы функция f(x) имела бесконечное число производных f(n)(x) в точке x=а и её окрестности. Получим: lim (f(x)-Sn(x))=lim Rn(x)=0 (7) . Если lim Rn(x) сущ-ет и равен 0, то f(x)=lim Sn(x) (8)  (9) - ряд Тейлора. При а=0 получаем ряд Макларена:

.

Замечание Функция представлена в форме ряда Тейлора в том случае если Rn(x)0.

Пример неразложимости функции в ряд Тейлора.

. Т.к. =0, то функция f(x) непрерывная 

Обозначим . По правилу Лопиталя

Аналогичным образом устанавливается, что функция f(x) имеет бесконечно большое число производных и все они непрерывны на всей оси, включая точку х=0 и в точке х=0 обращаются в нуль.

n=0,1,2... Sn(x)=0. f(x)=Sn(x)+Rn(x)Rn(x)  Rn(x)- не стремится к нулю, то ряда Тейлора для этой функции не сущ-ет.