§2. Поверхность в геометрическом пространстве

Определение 1. Уравнением поверхности в декартовой системе координат называется уравнение , которое удовлетворяется координатами любой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяется координатами точек, не лежащих на поверхности.

В частности, уравнение поверхности в декартовой системе координат может быть задано в виде, разрешенном относительно одной из координат, например, в виде

,-

т.е. числовой функции двух действительных переменных.

Определение 2. Параметрическими уравнениями поверхности Ф в декартовой системе координат называются уравнения вида

, и,

где функции ,иимеют одну и ту же область определенияD (которая представляет собой множество упорядоченных пар чисел u,v); каждой паре чисел u,v из этой области D соответствует точка М(,,) поверхностиФ и для любой точки М поверхности Ф найдется пара (u,v) из области D такая, что ,ибудут координатами точкиМ.

Например, уравнение сферы радиуса R с центром в точке М(х₀, у₀, z₀) имеет вид

.

Параметрические уравнения рассматриваемой сферы:

, ,.

Область D изменения параметров u,v такова: .