4. Підгрупи. Означення та критерій. Ізоморфізм та гомоморфізм груп, властивості.

Озн. 1. Підмнож. Н групи G називається підгр. цієї гр., якщо вона сама є гр. відносно бінарної операції групи G.

Кожна гр має такі очевидні підгр: саму гр. і підгр, яка складається лише з одного нейтр. елем.. Крім того гр G може мати і інші підгр.

Приклади.

1. Підгр-ми адитивної групи цілих чис. Z будуть мн-ни Z_p ціл. чисел, які кратні натур-им числам p.

2. Підгр-ми мультиплікативної гр. комплексних чисел {1, -1, і, -i} будуть підмнож. {1}, {1,-1}, {1,-1,і,-і}.

3. Множ. всіх парних підстановок n-го степеня є підгр. симетричної гр. n-го степеня.

Для дов. того, що підм-ни в прикл. є підгр-ми потрібно дов.: 1) чи будуть бінарні операції груп бін. операціями і підмножинах; 2) чи містять підм-ни разом з будь-яким елементом а і його оберн. ел. а^-1.

Т. Для того, щоб підмножина Н групи G була підгрупою, необх. і дост., щоб викон. умова ( а,b) (а*b^-1Н) (1)

Дов. Необх. Так як Н є підгр., то разом з б.-якими своїми ел-ми а, b вона містить і ел-т b^-1, а значить і а* b^-1Н.

Дост. Так як Н є під множ. G, то асоціативність бін. операції очевидна. Покажемо, що нейтр. ел-т гр. G належить Н. Нехай а – б.-який ел-т Н. Тоді згідно умови (1) е=а*а^-1 Н.

Якщо аН, то використ. умову (1) до ел-ів е і а, маємо а^-1=е*а^-1Н. Всі вимоги групи справджуються.

Потрібно ще довести, що бінарна операція групи G буде бінарною і в Н. Нехай а, bН. Тоді і b^-1Н і згідно умови (1) а*(b^-1)Н, або а*bН. Т дов.

Озн. 2. Групи G₁ і G₂ наз. ізоморфними, якщо між їхніми ел. можна встановити взаємно-однозначну відповідність таку, що якщо

х₁, у₁G₁ та х₂, у₂G₂ і х₁ х₂, у₁ у₂, х₁*у₁ х₂*у₂

Приклади. 1.Адитивна гр. G₁ цілих чисел ізоморфна адитивній гр. парних чисел. Якщо кожному цілому числу n поставити у відповідність парне число 2n, то дістанемо ізоморфне відображу. групи G₁ на G₂.

2.Мультиплікативна група G₁ додатніх дійсних чисел ізоморфна адитивній групі G₂ всіх дійсних чисел.

Якщо поставити у відповідність кожному додатному дійсному числу а дійсне число lg а, то отримаємо взаємно-однозначне відображ. G₁ на G₂, яке буде ізоморфне, так як lg а·b=lga+lgb.

Взаємно-однозначна відповідність називається при цьому ізоморфізмом. Якщо (а*b)=(а)*(b).

Групи G₁ і G₂ називається гоморфними, якщо між їхніми ел. можна встанов. відповідність (не вимагається взаємна однозначність) таку, що якщо х₁, у₁G₁ та х₂, у₂G₂ і х₁ х₂, у₁ у₂, то х₁*у₁ х₂*у₂.

Відповідність при цьому називається гомоморфізмом.

Приклади.

1. Мультиплікативна група G₁ неособливих матриць n-го порядку гомоморфна мультиплікат. гр. дійсних чисел відмінних від нуля. Справді, згідно теореми про визначник добутку матриць відповідність  : А  det А буде гоморфізмом.

2. Мультиплікативна група підстановок 3-го степеня гоморфна мультиплікативній групі {1, -1}.

Справді, співставивши парним підстановкам +1, а непарним –1, отримуємо гомоморфізм.

Властивості ізоморфізму та гомоморфізму групи.

1. При ізоморфізмі (гомоморфізмі)  образ нейтрального елемента еG є нейтральним елементом е₁G₁.

Дов. Для кожного елемента а (а)= (а*е)= (а)* (е) або

((а))^-1*(а)=(( (а)^-1*(а) (е). Звідси слідує (е)=е₁.

2. Для кожного елемента аG образ (а^-1) оберненого елемента є оберненим елементом ( (а))^-1 до образа (а) елемента а.

Дов. Позначимо через е₁ нейтральний елемент групи G₁. Тоді

е₁= (е)= (а*а^-1)= (а)* (а^-1). Звідси слідує, що (а^-1)=((а))^-1.

Озн. 2. Група G, яка співпадає з однією із своїх циклічних груп називається циклічною групою.