Вопрос 4. Непрерывные функции

Пусть y-f(x) определена в точке x₀ и её окрестности. Пусть x – некоторая точка из данной окрестности.

Δx=x-x₀. Δx называется приращением.

Рассмотрим f(x₀) и f(x). Δy=f(x)-f(x₀), где Δy – приращение функции, отвечающее приращению аргумента Δx.

Т.к. x=x₀+Δx, Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)

Определение. Пусть y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀, включая саму эту точку. y=f(x) называется непрерывной в точке x₀, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1)

2)

3) f(x₀)

4) f(x₀)

Аналогично можно показать, что все основные элементарные функции являются непрерывными всюду, где они определены.

1) y=x²

Δy=(x₀+Δx)² - x₀² =x₀² + 2x₀Δx+Δx² – x₀²= =2x₀Δx+Δx²

2) y=sin(x)

Δy=sin(x₀+Δx)-sin(x₀)=2sin(Δx/2)*cos(x₀+Δx/2)

0

Классификация точек разрыва.

Определение: точка x₀ называется точкой разрыва функции y=f(x), если в этой точке функция y=f(x) не является непрерывной.

Очевидно, что функция y-f(x) не является непрерывной в точке x₀, если:

1) функция y=f(x) не определена в точке x₀

2) в точке x₀ не существует

3)функция y=f(x) определена в точке x₀, существует , но ≠f(x₀)

Классификация точек разрыва.

1) Точка разрыва x₀ называется устранимой точкой разрыва, если существует =A, а функция f(x) в точке x₀ либо не определена, либо определена, но f(x₀)≠A. В этом случае, переопределив функцию f(x) в точке x₀ (или доопределив её в этой точке), а именно потребовав, чтобы f(x₀)=A, полученная новая функция будет непрерывна в точке x₀ ← устранимая точка разрыва.

2) Точки разрыва первого рода.

Пусть функция y=f(x) имеет в точке x₀ предел справа, и этот предел =A: =А

Пусть функция y=f(x) имеет в точке x₀ предел слева, и этот предел =B: =B

Если точка x₀ – просто 0, то используют обозначения ; =В

Определения:

Точа x₀ называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левый и правый пределы, но они не совпадают:

Точка разрыва 1 рода – точка, в которой функция имеет конечный скачок.

3) Точки разрыва 2 рода.

Все точки разрыва, которые не являются устранимыми точками разрыва или точками разрыва 1 рода, называются точками разрыва 2 рода.

Пусть функция y=f(x) определена на некотором промежутке. Она называется непрерывной на этом промежутке, если она непрерывна во всех точках промежутка. Она называется кусочно непрерывной на этом промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек разрыва 1 рода.