Ряды Тейлора и Маклорена

Если для функции в окрестности точки е производится до n+1 прежде в локальных, то имеет место формула Тейлора.

, где - остаточный член в форме Лагранджа имеет вид:

Если функция имеет вид производной всех порядков в окрестности точки , то в формуле Тейлора число n можно брать сколько угодно большим, если , то функция может быть представлена . Отметим, что функция представляет рядом Тейлора, только в том случае, когда предел остаточного члена больше нуля, при , если , то ряд Тейлора превращается в ряд Маклорена.

Известно, что для каждой элементарной функции существуют такие величины что в интервале элементарные функции располагаются в ряд Тейлора, другими словами, каждая элементарная функция может быть представлена некоторым степенным рядом, обратное утверждение в общем случае несправедливо – не всякая функция представляется сходящимся степенным рядом, является элементарной.

Функции представляющиеся сходимым степенным рядом называются аналитическими. Примеры использования степенных рядов.

Бипоминальный ряд: Разложен на ряд Маклорена

, таким образом - биноминальный ряд

Определим радиус сходимости биноминального ряда.

Таким образом, видим, что биноминальный ряд (12).

Вычислим предел отношения:

Таким образом, видим, что биноминальный ряд (12) сходится при условии, что .

Если m-целое положительное число, то начиная с номера все коэффициенты равны нулю. Ряд превращается в ряд Ньютона.

Рассмотрим биноминальный ряд при m=-1.

Это геометрическая прогрессия

Биноминальный ряд примет вид:

Заметим, что знаменатель можно представить в виде:

Применим биноминальный ряд к разложению других элементарных функций. Разложим логарифмическую функцию степенного ряда.. Заметим, что можно представить в виде:

Подынтегральную функцию заменим соответствующим интегральным рядом:

Используя свойства степенных рядов, поменяем знак суммы и знак интеграла:

Пример:

Разложим степенной ряд . Для этого заметим, что можно представить в виде: = воспользуемся биноминальным рядом для случая

Используя выписанное разложение получим: =