Общая факторная и остаточная суммы квадратов отклонений

Пусть на количественный нормально распределенный признак X воздействует фактор , который имеет постоянных уровней. Будем предполагать, что число наблюдений (испытаний) на каждом уровне одинаково и равно .

Пусть наблюдалось значений признака X, где – номер испытания , – номер уровня фактора .

Введем, по определению,

(общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней ),

(факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая характеризует рассеяние “между группами”),

(остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней, которая характеризует рассеяние “внутри групп”).

Практически остаточную сумму находят по равенству .

Элементарными преобразованиями можно получить формулы, более удобные для расчетов:

, ,

где – сумма квадратов значений признака на уровне ; – сумма значений признака на уровне .

Убедимся, что характеризует воздействие фактора . Допустим, что фактор оказывает существенное влияние на X. Тогда группа наблюдаемых значений признака на одном определенном уровне, вообще говоря, отличается от групп наблюдений на других уровнях. Следовательно, различаются и групповые средние, причем они тем больше рассеяны вокруг общей средней, чем большим окажется воздействие фактора. Отсюда следует, что для оценки воздействия фактора целесообразно составить сумму квадратов отклонений групповых средних от общей средней (отклонение возводят в квадрат, чтобы исключить погашение положительных и отрицательных отклонений). Умножив эту сумму на , получим . Итак, характеризует воздействие фактора.

2. Убедимся, что отражает влияние случайных причин. Казалось бы, наблюдения одной группы не должны различаться. Однако, поскольку на X, кроме фактора , воздействуют и случайные причины наблюдения одной и той же группы, вообще говоря, различны и, значит, рассеяны вокруг своей групповой средней.

Отсюда следует, что для оценки влияния случайных причин целесообразно составить сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений каждой группы от своей групповой средней, т. е. . Итак, характеризует воздействие случайных причин.

3. Убедимся, что отражает влияние и фактора и случайных причин. Будем рассматривать все наблюдения как единую совокупность. Наблюдаемые значения признака различны вследствие воздействия фактора и случайных причин. Для оценки этого воздействия целесообразно составить сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней, т. е. .

Итак, характеризует влияние фактора и случайных причин. Можно доказать, что .