Свойство сторонних рядов

Степенной ряд (1) радиус сходимости которого равен R, есть непрерывная функция от x на интервале (-R,R). Степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодное число раз, пока x принадлежит интервалу (-R,R). Получаемые при этом степенные ряды также имеют радиус сходимости R.

Доказательство: рассмотрим степенной ряд:

Пусть R-его радиус сходимости согласно второй теореме Абеля степенной ряд (1) сходится равномерно на (-R,R), следовательно согласно первому свойству равномерно сходящихся функциональных рядов, сумма ряда (1) – непрерывная функция на интервале (-R,R). Проинтегрируем члены ряда (1), получим степенной ряд:

(5)

(6)

Сходимость ряда (5) вытекает из второй теоремы Абеля и второе свойство равномерно сходящихся двух функциональных рядов.

Покажем, что ряд (6) также будет сходиться на интервале (-R,R), возьмем некоторое значение х из (-R,R). Подберем число S удовлетворяющее неравенству

Обозначим отношение.

. Выполним оценку абсолютных величин членов ряда (6).

Так как lim последовательности = 0, то для выбранной величины S можно подобрать номер N, такой чтобы для всех , будет выполняться , следовательно, .

Отбрасывания конечного числа слагаемых не влияет на сходимость ряда. (8)

Рассматривая ряд (6) начиная с номера N заключаем, что его члены будут меньше членов ряда.

(9) сходимость следует из соотношения (7), следовательно ряд (6 сходится на интервале (-R,R). Таким образом, покажем, что R не может уменьшаться. Покажем, что при дифференцирование R ряда не уменьшается. Если бы при дифференцировании степенного ряда получили радиус сходимости больше R, то проинтегрировав полученный степенной ряд, получили бы ряд, радиус сходимости которого был бы равным R, так как в результате интегрирования вернулись бы к исходному ряду, то получили бы противоречие R₁>R, следовательно, при дифференцировании R не меняется. Заметим, что степенным рядом является функцией ряда вида:

Видим, что при степенной ряд (10) превращается в степенной ряд (1). Для определения R сходимости степенного ряда (10) проводят замену переменной:

Получили степенной ряд положительный по Х. Если R – радиус сходимость ряда (11), то ряд (11) сходится для всех , то возвращаясь к X получим область сходимости ряда 10.