1.2. Гипербола

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное положительное число 2а, меньшее, чем расстояние 2смежду фокусами.

Пусть М– произвольная точка гиперболы, аF₁иF₂– ее фокусы. ОтрезкиF₁MиF₂Mтак же, как и их длиныr₁иr₂, называютсяфокальными радиусами гиперболы. Поэтому

. (5.11)

Введем на плоскости прямоугольную систему координат, принимая середину отрезка F₁F₂за начало координат, а за осьОх– прямуюF₁F₂, ориентированную от точкиF₁к точкеF₂. В выбранной системе координат фокусF₁ имеет координаты– с, 0, а фокусF₂– координатыс, 0. Обозначая координаты точкиМгиперболы черезх, у, получим

,,

и соотношение (5.11) принимает вид

.

Преобразуя это уравнение так же, как и для эллипса (п.1.1), получим уравнение

.

Однако теперь . Обозначая разностьчерез:или, имеем

. (5.12)

Итак, координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению (5.12). Справедливо и обратное утверждение: если координаты точки удовлетворяют этому уравнению, то эта точка лежит на рассматриваемой гиперболе. Доказательство аналогично тому, что было выполнено при выводе уравнения эллипса.

Следовательно, уравнение (5.12) является уравнением гиперболы: оно называется каноническим уравнением гиперболы.

Свойства гиперболы:

1. Гипербола есть кривая второго порядка.

2. Каноническое уравнение гиперболы (5.12) содержит текущие координаты в четных степенях, следовательно, гипербола, как и эллипс, имеет две оси симметрии – оси координат и один центр симметрии – начало координат.

3. Из уравнения (5.12) следует, что ,т.е. или, или. Поэтому гипербола состоит из двух ветвей. Левая ветвь лежит в полуплоскости, а правая – в полуплоскости. Между прямымиинет ни одной точки гиперболы.

4. Ось симметрии Оу не пересекает гиперболу, заданную уравнением (5.12), и называетсямнимой осью; осьОх пересекает гиперболу в двух точках:и. Эта ось называетсядействительной осью гиперболы. Точки, в которых действительная ось пересекает гиперболу, называетсявершинами гиперболы.

Числа аив каноническом уравнении (5.12) гиперболы называются соответственнодействительной имнимой полуосями гиперболы.

5. Решая уравнение (5.12) относительно у, беря для него лишь положительное значение

(5.13)

и считая , мы получим точки гиперболы, лежащие в первой четверти. Из уравнения (5.13) следует, что с неограниченным возрастаниемхотазначенияу также неограниченно возрастают. Затем, воспользовавшись тем, что гипербола симметрична относительно осей координат, мы получим точки гиперболы, лежащие в остальных (второй, третьей и четвертой) четвертях (рис.3.10).

Рис. 3.10

6. Прямые, определяемые уравнениями и, называютсяасимптотами гиперболы. Асимптота гиперболы – это прямая, обладающая тем свойством, что точка на гиперболе, удаляющаяся от начала координат в бесконечность, неограниченно приближается к ее асимптоте (рис.3.10).

Асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника с вершинами (рис.3.10).

Дадим теперь способ построения гиперболы, использующий асимптоты. Строим прямоугольник SRPQ(стороны этого прямоугольника 2аи); проводим прямые, совпадающие с диагоналями этого прямоугольника, т.е. проводим асимптоты; затем вычерчиваем гиперболу с вершинами в точкахА₁иА₂.

7. Отношение расстояния от центра гиперболы до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы:

.

Так как для гиперболы , тои эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Две прямые, заданные уравнениями и, называютсядиректрисами гиперболы.

Так как , то директрисы гиперболы отстоят от ее центра на расстоянии, меньшем действительной полуоси (рис.3.10). Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса, т.е.

(рис.3.10).

В заключение рассмотрим параметрические и полярное уравнения гиперболы.

Перепишем уравнение (5.12) гиперболы в виде

.

Отсюда видно, что

,.

Положим , тогдаи,следовательно

. (5.14)

Мы доказали, что координаты любой точки гиперболы могут быть представлены в виде (5.14), где . Обратно, при любомточка с координатами (5.14) лежит на гиперболе

,

в чем легко можно убедиться, подставляя в это уравнение вместо хиуих выражения из формул (5.14). Следовательно, уравнения (5.14) являются параметрическими уравнениями гиперболы.

Для установления полярного уравнения гиперболы введем полярную систему координат так, чтобы ее полюс совпал с фокусом F₁. а полярная ось – с положительным направлением осиОх. Координаты любой точкиМгиперболы обозначим черезρ иφ, т.е.(см. рис.3.10).

Запишем уравнение гиперболы в виде , или для правой ветви

, (5.15)

а для левой

. (5.16)

Запишем уравнение (5.16) в полярных координатах. Для любой точки Млевой части гиперболы. Тогда.

По теореме косинусов из треугольника (рис.3.10) находим

,

или

,

откуда

.

Учитывая, что , а, получаем

.

Обозначив фокальный параметр гиперболы через (см. рис.3.10), приходим кполярному уравнению левой ветви гиперболы:

.

Аналогично выводится полярное уравнение правой ветви гиперболы:

.

Если полюс поместить в правый фокус F₂, а направление полярной оси сохранить, то полярное уравнение правой ветви гиперболы принимает вид

, (5.17)

а левой

. (5.18)