Вопрос 47. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.! Эквивалентная формулировка: Разложить функцию в ряд по степеням   

Конструируем наш ряд. Плясать начинают, как правило, от функции, в данном случае – от косинуса. Используем элементарное разложение:

.  Область сходимости ряда: 

В данном случае 

В числителях раскрываем скобки:

Теперь умножаем обе части на «икс»:

В итоге искомое разложение функции в ряд:

Как определить область сходимости? Разложение косинуса сходится при ЛЮБОМ значении «альфа»:  , а значит и при  . Домножение   на «икс» не играет никакой роли в плане сходимости. Поэтому область сходимости полученного ряда: