logo search
Линейная алгебра методичка

Переход к новому базису.

Пусть в пространстве R заданы два базиса: старый ,, … ,и новый,, … ,.

Выразим связь между базисами, разложив векторы нового базиса по векторам старого базиса:

Связь между базисами задается матрицей , записанной в транспонированном виде:

А =

Координаты вектора в новом базисе находятся с помощью обратной матрицы .

где – матрица перехода от старого базиса к новому;

Пример:

Дано

Решение

(1; 1; 0),

(1; –1; 1),

(–3; 5; –6),

(4; –4; 5).

В базисе , ,.

1) Докажем, что векторы и являются линейно независимыми,

т. е. образуют базис.

Для этого составим их линейную комбинацию и приравняем ее к нулевому вектору.

· +·+= .

Получим:

Доказать, что векторы и сами образуют базис и найти координаты векторав этом базисе.

Следовательно, получим однородную систему:

∆ = = 6– 3 + 0 – 0 – 5 + 6 = 4  0

Следовательно,система имеет единственное решение и– линейно независимые, т. е. образуют базис.

2) Разложим векторы нового базиса по векторам старого базиса.

.

Координаты вектора .

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Ã=