Вычисление определенных интегралов

Существуют определенные интегралы, которые как функции переменного верхнего предела не выражаются через элементарные функции, такие интегралы часто могут быть вычислены с помощью степенных рядов.

Пример:

.

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Для этого воспользуемся разложением sin в ряд Макларена.

Известно, что сходящиеся ряды можно складывать, вычитать, умножать на число, и если ряды сходятся абсолютно их можно перемножить. Умножим степенной ряд для sin на , в результате получим ряд: .

Подставим полученный степенной ряд под знак интеграла: = =