1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка ( ) имеет вид: или (если его удаётся разрешить относительно производной) . Общее решение или общий интеграл уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом можно найти частное решение, т.е. задача Коши будет решена. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива следующая теорема, принимаемая здесь без доказательства.

Теорема. Если в уравнении функция и её частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости XOY и в этой области задана точка , то существует (и притом единственное) решение , удовлетворяющее как уравнению , так и начальному условию .

Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY, не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C. Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке тангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке: . Другими словами, уравнение задаёт на плоскости XOY поле направлений касательных к интегральным кривым.

Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению приводится уравнение и так называемое уравнение в симметрической форме .