2.5. Лоду 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

(5.1),

где .

Согласно предыдущему параграфу общее решение ЛОДУ 2-го порядка легко определяется, если известны два линейно независимых частных решения этого уравнения. Простой метод нахождения частных решений уравнения с постоянными коэффициентами предложил Л. Эйлер. Это метод, который называется методом Эйлера, состоит в том, что частные решения ищутся в виде . Подставляя эту функцию в уравнение (5.1), после сокращения на , получим алгебраическое уравнение, которое называется характеристическим:

(5.2)

Функция будет решением уравнения (5.1) только при тех значениях , которые являются корнями характеристического уравнения (5.2). В зависимости от величины дискриминанта возможны три случая.

1. . Тогда корни характеристического уравнения различны: . Решения и будут линейно независимыми, так как и общее решение уравнения (5.1) можно записать в виде .

2. . В этом случае и . В качестве второго линейно независимого решения можно взять функцию . Проверим, что эта функция удовлетворяет уравнению (5.1).

Действительно,

,

.

Подставляя эти выражения в уравнение (5.1), получим:

или

,

так как и .

Частные решения и линейно независимы, так как . Следовательно, общее решение уравнения (5.1) имеет вид:

или .

3. . В данном случае корни характеристического уравнения комплексно-сопряжены: , где , . Легко проверить, что линейно независимыми решениями уравнения (5.1) будут функции и . Убедимся, что уравнению (5.1) удовлетворяет, например, функция .

Действительно,

,

.

Подставив эти выражения в уравнение (5.1), получим

.

Выражения в обеих скобках в левой части этого равенства тождественно равны нулю. Действительно,

,

.

Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (5.1). Аналогично нетрудно убедиться в том, что и есть решение уравнения (5.1). Поскольку , то общее решение будет иметь вид:

.