2.8. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Непосредственное нахождение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, кроме случая уравнения с постоянными коэффициентами, причём со специальными правыми частями, обычно представляет большие трудности. В связи с этим для нахождения общего решения ЛНДУ рассмотрим метод вариации произвольных постоянных, который всегда даёт возможность выразить общее решение ЛНДУ через элементарные функции и интегралы от них (в этом случае говорят, что решение «найдено в квадратурах»), если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения.

Как было показано ранее, общее решение линейного однородного уравнения (ЛОДУ) имеет вид:

, (8.1)

где – линейно независимые на некотором интервале решения ЛОДУ, а – произвольные постоянные.

Будем искать частное решение ЛНДУ в форме (8.1), считая, что – не постоянные, а некоторые, пока неизвестные, функции от x:

. (8.2)

Продифференцируем равенство (8.2):

. (8.3)

Подберём функции и так, чтобы выполнялось равенство: . Тогда вместо (8.3) получим:

. (8.4)

Продифференцируем это выражение ещё раз по x, получим:

. (8.5)

Подставим (8.2), (8.4), (8.5) в ЛНДУ 2-го порядка , получим :

или

(8.6)

Так как – решения ЛОДУ , то равенство (8.6) принимает вид:

.

Таким образом, функция (8.2) будет решением ЛНДУ в том случае, если функции и удовлетворяют системе уравнений:

(8.7)

Так как определителем этой системы является определитель Вронского для двух линейно независимых на интервале X решений соответствующего ЛОДУ, то он не обращается в нуль ни в одной точке интервала X. Следовательно, решая систему (8.7), найдём и :

и .

Интегрируя полученные равенства, получим:

, ,

где , – произвольные постоянные.

Возвращаясь к равенству (8.2), получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

.

Пример. Решить уравнение: .

Решение. Соответствующее данному ЛНДУ однородное уравнение . Интегрируя его, получим общее решение:

.

Итак, двумя линейно независимыми решениями, образующими общее решение, являются функции и .

Предположим теперь, что общим решением заданного уравнения является выражение . Для определения функций и имеем систему уравнений:

.

Отсюда получаем

,

.

Следовательно, общее решение заданного уравнения есть:

.