4.1. Нормальные системы

Определение 1. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

, (4.1)

где , – неизвестные функции от независимой переменной x, подлежащие определению; , – известные функции от , заданные и непрерывные в некоторой области. Число n называется порядком системы (4.1). В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем второго порядка ( ).

Определение 2. Пусть дана нормальная система уравнений

(4.2)

где и – заданные непрерывные в некоторой области функции. Пара функций , определённых на интервале , имеющих непрерывные производные и удовлетворяющих на обоим уравнениям системы (4.2), называется её решением.

Задача нахождения решения , удовлетворяющего начальным условиям , где – заданные числа (начальные данные), называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Пусть дана система уравнений (4.2) и пусть в некоторой области D(x, y, z) функции и непрерывны и имеют непрерывные частные производные по y, z. Пусть точка . Тогда существуют интервал и определённые на нем непрерывно дифференцируемые функции , удовлетворяющие системе уравнений (4.2) и начальным условиям , причём эти функции определяются однозначно.