2.4. Структура общего решения лоду 2-го порядка

Теорема. Если и – линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения (2.3), то их линейная комбинация , где и – произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

В данном случае говорят, что функции и образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ (2.3).

Доказательство. Первая часть утверждения, касающаяся того, что есть решение уравнения (2.3), следует из теоремы о свойствах решений ЛОДУ 2-го порядка. Остаётся показать, что решение будет общим, т.е. надо показать, что при любых начальных условиях , можно выбрать произвольные постоянные и так, чтобы удовлетворить этим условиям. Запишем начальные условия в виде:

Постоянные и из этой системы линейных алгебраических уравнений определяются однозначно, так как определитель этой системы является определителем Вронского для линейно независимых решений ЛОДУ при :

,

а такой определитель, как было показано в предыдущем разделе, отличен от нуля. Теорема доказана.

Пример. Доказать, что функция , где и – произвольные постоянные, является общим решением ЛОДУ

Решение. Легко убедиться непосредственной подстановкой, что функции и удовлетворяют данному уравнению. Эти функции являются линейно независимыми, так как . Поэтому согласно теореме о структуре общего решения ЛОДУ 2-го порядка функция является общим решением данного уравнения.