1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида

, (1.1)

где F – заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальные» подчеркивает, что в них входят производные (функции, образованные как результат дифференцирования); термин «обыкновенные» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент x, искомую функцию и любые её производные, но старшая производная обязана входить в уравнение n-го порядка. Например,

а) – уравнение первого порядка;

б) – уравнение третьего порядка.

При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:

в) – уравнение второго порядка;

г) – уравнение первого порядка, образующее после деления на dx эквивалентную форму задания уравнения: .

Определение 2. Функция называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него оно обращается в тождество. Например, уравнение 3-го порядка

имеет решение .

Найти тем или иным приёмом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение – значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.1) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, причём число констант совпадаёт с порядком уравнения: Общее решение может быть явно не разрешено относительно y(x): В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.1). Например, общим решением дифференциального уравнения является следующее выражение:

,

причём второе слагаемое может быть записано и как , так как произвольная постоянная , может быть заменена новой произвольной постоянной .

Придавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определённую функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1). Для отыскания значений произвольных констант, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при :

. (1.2)

В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причём общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.

Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям называется задачей Коши.