2.6. Структура общего решения лнду 2-го порядка

Теорема 1. Общее решение ЛНДУ 2-го порядка

(6.1)

представляется в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения

(6.2)

и любого частного решения уравнения (6.1).

Доказательство. Докажем сначала, что будет решением уравнения (6.1). Для этого подставим в уравнение (6.1):

.

Это равенство является тождеством, так как и . Следовательно, есть решение уравнения (6.1).

Докажем теперь, что это решение является общим, т.е. можно так выбрать входящие в него произвольные постоянные, что будут удовлетворяться любые начальные условия вида:

, . (6.3)

Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения общее решение уравнения (6.2) можно представить в виде:

,

где и – линейно независимые решения этого уравнения.

Таким образом: и, следовательно, начальные условия (6.3) можно записать в виде:

или

(6.4)

Произвольные постоянные и определяются из этой системы линейных алгебраических уравнений однозначно при любых правых частях, так как определитель этой системы есть значение определителя Вронского для линейно независимых решений уравнения (6.2) при , а такой определитель, как было указано выше, отличен от нуля. Определив постоянные и из системы уравнений (6.4) и подставив их в выражение , мы получим частное решение уравнения (6.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям. Теорема доказана.

Теорема 2. Если – решение дифференциального уравнения

,

а – решение уравнения

,

то функция является решением уравнения

. (6.5)

Доказательство. Подставив функцию в уравнение (6.5), получим

.

Это равенство является тождеством, так как

и .

Теорема доказана.