1.5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Рассмотрим уравнение вида

. (5.1)

Если , то уравнение (5.1) с помощью замены , где и – новые переменные, а и – некоторые постоянные числа, определяемые из системы

,

приводится к однородному уравнению

.

Если , то уравнение (5.1) принимает вид:

.

Сделав замену , получим уравнение, не содержащее независимую переменную.

Пример 1. Проинтегрировать уравнение

и выделить интегральную кривую, проходящую через точки:

а) (2; 2); б) .

Решение. Положим . Тогда

и

.

Сокращая на и собирая члены при dx и dz, получим:

.

Разделим переменные:

.

Интегрируя, получим:

;

или

, где .

Заменяя z на , получим общий интеграл исходного уравнения в виде

или, что то же самое,

. (5.2)

Равенство (5.2) определяет семейство окружностей

.

Центры указанных окружностей лежат на прямой и в начале координат касаются прямой . Функция , в свою очередь, является частным решением заданного дифференциального уравнения.

Определим, какие из найденных окружностей, удовлетворяют начальным условиям, т.е. решим задачи Коши:

а) полагая в общем интеграле , , находим , поэтому искомой кривой является окружность ;

б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку . Зато полупрямая проходит через эту точку, а значит, соответствующая функция и даёт искомое решение.

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение. Исходное уравнение является частным случаем уравнения (5.1).

Определитель в данном случае не равен нулю, поэтому сначала рассмотрим систему .

Решая указанную систему, получим, что .

Выполняя в заданном уравнении замену , приходим к однородному уравнению

.

Интегрируя последнее уравнение после подстановки , находим . Возвращаясь к старым переменным x и y по формулам , имеем .