3.1. Однородное уравнение

Определение. Линейным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

. (3.1)

Если при всех рассматриваемых значениях x функция равна нулю, то это уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Предполагаем, что коэффициенты и свободный член определены и непрерывны в интервале . Тогда уравнение (3.1) имеет единственное решение , определённое во всём интервале и удовлетворяющее начальным условиям:

,

причём начальные данные можно задавать произвольно, а нужно брать из интервала .

Заметим, что линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) всегда имеет нулевое решение .

Для построения общего решения ЛОДУ достаточно знать n линейно независимых в интервале частных решений , т.е. таких решений, для которых тождество

,

(где – постоянные числа,) может выполняться только при . Такая система решений называется фундаментальной. Известно, что для того чтобы система решений ЛОДУ была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы её определитель Вронского

был отличен от нуля хотя бы в одной точке из интервала . В действительности, в этом случае определитель Вронского отличен от нуля во всех точках интервала .

Если найдена фундаментальная система решений ЛОДУ, то формула

, (3.2)

где – произвольные постоянные, даёт общее решение этого уравнения в области , , , …, .