4.6. Метод вариации произвольных постоянных

Применим метод вариации постоянных, описанный ранее, для решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений (4.14).

Общее решение соответствующей однородной системы (4.5) задаётся парой выражений:

,

где и – произвольные постоянные. Будем искать решение системы (4.14) в виде

(4.19)

где и – функции, подлежащие определению.

Подставим выражения (4.19) в систему (4.14), получим:

.

Откуда получаем .

Аналогично получаем второе уравнение для функций :

.

Итак, для производных имеем систему уравнений

. (4.20)

Определитель последней системы есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений системы (4.5), который не обращается в нуль ни в одной точке интервала . Поэтому, решая систему (4.20), однозначно определяются и :

и .

Интегрируя эти выражения и подставляя результат в систему (4.19), получим ответ.