2.7. Решение лнду 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

Рассмотрим случай, когда коэффициенты в уравнении (6.1) постоянны, т.е. уравнение имеет вид:

, (7.1)

где .

Рассмотрим метод отыскания частного решения уравнения (7.1) в случае, когда правая часть имеет специальный вид. Это метод называется методом неопределённых коэффициентов и состоит в подборе частного решения в зависимости от вида правой части . Рассмотрим правые части уравнения (7.1) следующего вида:

1. , где – многочлен степени , причём некоторые коэффициенты, кроме , могут равняться нулю. Укажем вид частного решения в этом случае.

1. Если число не является корнем характеристического уравнения (5.2), то частное решение записываем в виде:

,

где – неопределённые коэффициенты, которые подлежат определению методом неопределённых коэффициентов.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Для уравнения составляем характеристическое уравнение: . Откуда получаем . Следовательно, общее решение однородного уравнения есть

.

Правая часть заданного уравнения имеет специальный вид (случай 1), причём не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде:

,

где A, B – неопределённые коэффициенты.

Найдём производные первого и второго порядков и подставим их в заданное уравнение:

.

Сократим обе части на и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства:

Из полученной системы уравнений находим: . Тогда , а общее решение заданного уравнения есть:

.

2. Если является корнем кратности соответствующего характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

,

где – неопределённые коэффициенты, которые подлежат дальнейшему определению.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид: , откуда . Тогда общее решение однородного уравнения есть:

.

Правая часть заданного уравнения имеет специальный вид (случай 1). Так как является корнем характеристического уравнения кратности , то частное решение ищется в виде:

.

Находим неопределённые коэффициенты A, B, C методом, изложенным в примере 1. В результате получаем . Окончательно имеем следующее выражение для общего решения:

.

2. Правая часть , где хотя бы одно из чисел M и N отлично от нуля. Укажем вид частного решения в этом случае.

1. Если число не является корнем характеристического уравнения (5.2), то частное решение ищем в виде:

,

где A, B – неопределённые коэффициенты.

2. Если число является корнем характеристического уравнения (5.2), причём кратность этого корня , то запишем частное решение в виде:

,

где A, B – неопределённые коэффициенты.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Корнями характеристического уравнения для являются комплексно-сопряженные числа . В этом случае общее решение этого уравнения:

.

Правая часть заданного в примере 3 уравнения имеет специальный вид:

,

где , а . Число является корнем характеристического уравнения кратности , поэтому частное решение исходного уравнения примет вид:

.

Для определения A и B находим , и подставляем в заданное уравнение:

.

Приводя подобные члены, приравнивая коэффициенты при и , получаем следующую систему:

,

откуда .

Окончательно общее решение заданного уравнения имеет вид:

.

3. , где и – многочлены степени p и q соответственно, причём один из этих многочленов может равняться нулю. Укажем вид частного решения в этом общем случае.

1. Если число не является корнем характеристического уравнения (5.2), то вид частного решения будет следующим:

, (7.2)

где – неопределённые коэффициенты, а .

2. Если число является корнем характеристического уравнения (5.2) кратности , то частное решение ЛНДУ примет вид:

, (7.3)

т.е. частное решение вида (7.2) надо умножить на . В выражении (7.3) – многочлены с неопределёнными коэффициентами, причём их степень .

Пример 4. Указать вид частного решения для уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: . Его корни: . Общее решение ЛОДУ имеет вид:

.

Правая часть заданного уравнения имеет специальный вид (случай 3): . Число является корнем характеристического уравнения кратности . Коэффициент при является многочленом первой степени, а при – нулевой степени, поэтому степень многочленов с неопределёнными коэффициентами надо брать .

Итак, вид частного решения:

.

Коэффициенты A, B, C, D могут быть определены по методу неопределённых коэффициентов.

Замечание. Если правая часть уравнения (7.1) есть сумма двух функций , причём каждая из функций , имеет специальный вид (случаи 1-3), то частное решение подбирается в виде суммы: , где есть частное решение для уравнения с правой частью , а есть частное решение для уравнения с правой частью .

Аналогично находятся частные решения в случае, когда правая часть уравнения есть алгебраическая сумма конечного числа функций специального вида, рассмотренного в случаях 1-3.