1.8. Уравнение Бернулли

Определение. Дифференциальное уравнение вида

,

где , , называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим:

. (8.1)

Введём новую функцию . Тогда

.

Умножим обе части уравнения (8.1) на и перейдем к функции z(x):

,

т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем разделе 1.7. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y. При добавляется решение . Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путём подстановки , а применяя метод Бернулли, подробно разобранный в 1.7. Рассмотрим применение этого метода для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.

Пример. Найти общее решение уравнения:

. (8.2)

Решение. Уравнение (8.2) является уравнением Бернулли, причём .

Будем искать решение уравнения в виде . Тогда

.

В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые, которые содержат функцию u(x), и потребуем, чтобы , откуда . Тогда для функции u(x) получим уравнение:

,

или

.

Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными для функции u(x). Решая его, получим:

,

,

.

Следовательно, общее решение уравнения (8.2) имеет вид:

.