2.2. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка

Определение. Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка имеет следующий вид:

, (2.1)

где и – заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение.

Предполагая, что разделим (2.1) на и, после введения новых обозначений для коэффициентов, запишем уравнение в виде:

(2.2)

Примем без доказательства, что уравнение (2.2) имеет на некотором промежутке единственное решение, удовлетворяющее любым начальным условиям если на рассматриваемом промежутке функции , и непрерывны.

Если , то уравнение (2.2) называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ). В противном случае, т.е. при ≢0, уравнение (2.2) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).

Рассмотрим свойства решений ЛОДУ 2-го порядка.

Определение. Линейной комбинацией функций называется выражение , где – произвольные числа.

Теорема. Если и – решения ЛОДУ

, (2.3)

то их линейная комбинация , где – произвольные числа, также будет решением этого уравнения.

Доказательство. Поставим выражение в уравнение (2.3) и покажем, что в результате получается тождество:

Перегруппируем слагаемые:

Поскольку функции и являются решениями уравнения (2.3), то выражения в каждой из скобок в последнем уравнении тождественно равны нулю, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Из доказанной теоремы вытекает при , что если – решение уравнения (2.3), то тоже есть решение этого уравнения.

Следствие 2. Полагая в теореме , получим, что сумма двух решений ЛОДУ также является решением этого уравнения.

Замечание. Доказанное в теореме свойство решений остается справедливым для ЛОДУ любого порядка.