1.4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция – однородная нулевого измерения.

Решение.

, ,

что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция – однородна и, наоборот, любая однородная функция нулевого измерения приводится к виду .

Доказательство. Первое утверждение теоремы очевидно, так как . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции

,

что и требовалось доказать.

Определение 2. Уравнение

, (4.1)

где M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством при всех , называется однородным.

Очевидно, что уравнение (4.1) всегда может быть приведено к виду

, (4.2)

хотя для его решения можно этого и не делать.

Однородное уравнение (4.1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле , где – новая искомая функция. Выполнив эту замену в уравнении (4.2), получим:

(4.3)

или

,

т.е.

.

Интегрируя последнее равенство, получаем общий интеграл уравнения (4.3) относительно функции

,

который после повторной замены даёт общий интеграл исходного уравнения (4.2). Кроме того, если – корни уравнения , то функции (где ) – решения однородного уравнения (4.2). Если же , то уравнение (4.2) принимает вид

и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются функции, определяющие на плоскости полупрямые:

.

Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше замены использовать замену .