6.3. Основные уравнения полевой модели

6.3.1. Полевая модель расчета тепломассообмена при пожаре основана на уравнениях законов сохранения массы, импульса и энергии. Рассмотрим основные уравнения модели, записанные в ортогональной системе координат. Подробный вывод этих уравнений приведен в работе Л.Г. Лойцянского [13]. Для определенности ось х направлена вдоль длины, ось у – ширины и ось z – высоты помещения. Центр ортогональной системы координат находится в левом нижнем углу помещения (на плане помещения). Размерности всех параметров приведены в системе СИ.

6.3.2. Уравнение неразрывности газовой смеси является математическим выражением закона сохранения массы газовой смеси и имеет следующий вид:

, (6.1)

где r – плотность, кг/м³; t – время, с; x, y, z – координатные оси вдоль длины, ширины и высоты помещения соответственно, м; w_x, w_y, w_z – проекции скорости на соответствующие оси, м/с.

1.3.3. В скалярном виде векторное уравнение закона сохранения импульса для смеси газов распадается на три уравнения движения вдоль координатных осей:

; (1.2)

; (1.3)

, (1.4)

где m – динамический коэффициент вязкости, кг/(м×с); m_т – коэффициент турбулентной вязкости, кг/(м×с); p – давление, Па; r_o – плотность газовой среды за пределами нагретого слоя, кг/м³; g – ускорение свободного падения, м/с².

Уравнения (6.1)-(6.4) называются уравнениями Рейнольдса и получены из уравнений Навье-Стокса [13] путем осреднения по времени всех параметров.

6.3.4. Уравнение энергии является математическим выражением закона сохранения и превращения энергии. Для тепловых процессов (при рассматриваемых в пункте 6.1.1 данном пособии условиях тепломассообмена при пожаре) этот закон выражается в виде первого начала термодинамики и имеет следующий вид:

, (6.5)

где T – температура, К; с_p – удельная изобарная теплоемкость, Дж/(кг×К); l – коэффициент теплопроводности, Вт/(м×К); l_т – коэффициент турбулентной теплопроводности, Вт/(м×К); l_р – коэффициент радиационной теплопроводности, Вт/(м×К); q_v – интенсивность внутренних источников тепла, Вт/м³; q_v=q_vк+q_vл+q_vг; q_vл – интенсивность внутренних источников тепла за счет радиационного (лучистого) теплопереноса, Вт/м³; q_vк – интенсивность внутренних источников тепла из-за конвективного теплообмена, Вт/м³; q_vг – интенсивность внутренних источников тепла из-за реакций горения, Вт/м³.

6.3.5. Закон сохранения массы i-го газа, входящего в состав смеси, (уравнение неразрывности для компонента газовой смеси) имеет вид:

, (6.6)

где X_i – массовая концентрация i-го газа; D_i – коэффициент диффузии i-го газа, м²/с; D_т – коэффициент турбулентной диффузии, м²/с; m_i – интенсивность внутренних источников (стоков) массы, возникающих из-за образования (исчезновения) молекул данного газа вследствие протекания химических реакций горения, кг/(с×м³).

1.3.6. Закон сохранения оптической плотности дыма используется в виде:

, (6.7)

где D_оп - оптическая плотность дыма, Нп/м; q_D - интенсивность внутренних источников оптической плотности дыма, образующегося из-за прохождения реакций горения, Нп/(c×м).

6.3.7. Уравнение состояния смеси идеальных газов имеет вид [27]:

, (6.8)

где R – газовая постоянная смеси, Дж/(кг×К).

6.3.8. Уравнения теплофизических параметров смеси газов учитывают химический состав смеси. В состав смеси входят следующие газы: кислород, азот, продукты горения (окись углерода, двуокись углерода) и продукты горения горючей нагрузки. Газовая постоянная, плотность и удельная изобарная теплоёмкость смеси газов вычисляются по формулам:

; ; , (1.9)

где i – номер газовой компоненты смеси; n – число газов в смеси; r_i, g_i, R_i, c_pi, r_i – объемная и массовая доля, газовая постоянная (Дж/(кг×К)), удельная изобарная массовая теплоемкость (Дж/(кг×К)) и плотность (кг/м³) i-ой компоненты газовой смеси. Величины удельных изобарных массовых теплоёмкостей компонентов принимаются постоянными или определяются в зависимости от температуры. Соответствующие зависимости описаны в справочной литературе (например, в [14]).

6.3.9. Таким образом, решаются нестационарные трехмерные дифференциальные уравнения в частных производных законов сохранения массы, импульса и энергии для газовой среды помещения, уравнения сохранения массы для компонентов газовой среды и уравнение оптической плотности дыма. Все дифференциальные уравнения приведены к «стандартному» виду [15], удобному для численного решения:

, (6.10)

где Ф – зависимая переменная (энтальпии газовой смеси и материала стен и перекрытия, проекции скорости на координатные оси, концентрации компонентов газовой смеси, кинетическая энергия турбулентности и скорость ее диссипации, массовая концентрация и оптическая плотность дыма); Г – коэффициент диффузии для Ф; S – источниковый член для Ф.

6.3.10. Значения величин в уравнении (6.10) приведены в табл. 6.1. Все величины здесь и далее являются осредненными по времени. При расчете прогрева ограждающих конструкций (уравнения 11 и 12, табл. 6.1): w_x=w_y=w_z=0.

Обозначения в табл. 6.1 следующие: X_О2, X_СО, X_СО2, X_N2, X_Н2О, X_пг – массовые концентрации кислорода, продуктов горения (окиси углерода и двуокиси углерода), азота, воды и продуктов горения горючей нагрузки; D_О2, D_СО, D_СО2, D_N2, D_пг – коэффициенты диффузии кислорода, окиси углерода, двуокиси углерода, азота и продуктов горения горючей нагрузки, м²/с; m_O2, m_СО, m_СО2 – интенсивность внутренних стоков массы кислорода и источников массы окиси углерода и двуокиси углерода, возникающих из-за образования (исчезновения) молекул данного газа вследствие протекания химических реакций горения, кг/(с×м³); m_Н2О – интенсивность внутренних источников (стоков) массы воды (водяного пара), возникающих из-за испарения воды (конденсации водяного пара) под влиянием поля температур в помещении и в ограждающих конструкциях, кг/(с×м³); h - полнота сгорания; b=1/Т - коэффициент объемного термического расширения, 1/К; L_O2 - потребление по массе кислорода при сгорании 1 кг горючего материала; L_CO, L_CO2 - выделение по массе окиси и двуокиси углерода при сгорании 1 кг горючего материала; Y_г - скорость выгорания горючего материала, кг/с; D_опг - дымообразующая способность горючего материала, Нп×м²/кг; i, i_w, i_c - энтальпии газовой смеси, материала стен и перекрытия, Дж/кг; Q_р^н - низшая рабочая теплота сгорания, Дж/кг; h - полнота сгорания; q_D - интенсивность внутренних источников оптической плотности дыма, образующегося из-за протекания реакций горения, Нп/(c×м); q_vw, q_vc - интенсивность внутренних источников теплоты внутри стен и перекрытия, Вт/м³; ∆V – объем газовой среды, внутри которой находится источник (сток) массы или энергии, м³.

Таблица 6.1.

Параметры и коэффициенты уравнения (6.10)