1.2. Дифференциальные уравнения пожара

Уравнения пожара описывают в самом общем виде изменение среднеобъемных параметров состояния газовой среды в помещении в течение времени (в процессе развития пожара). Эти уравнения были сформулированы в 1976 г. проф. Ю.А. Кошмаровым (см. статью "Развитие пожара в помещении" в научном сборнике ВНИИПО МВД СССР "Горение и проблемы тушения пожаров". М.: ВНИИПО МВД СССР, 1977).

Уравнения пожара являются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Они вытекают, как и большинство уравнений математической физики, из фундаментальных законов природы - первого закона термодинамики для открытой термодинамической системы и закона сохранения массы. Подробный вывод этих уравнений приведен в учебнике Ю.А. Кошмарова и М.П. Башкирцева "Термодинамика и теплопередача в пожарном деле" (М., ВИПТШ МВД СССР, 1987). Ограничимся здесь кратким изложением рассуждений, используемых при выводе уравнений пожара.

Первое уравнение - уравнение материального баланса пожара в помещении - вытекает из закона сохранения массы. Применительно к газовой среде, заполняющей помещение, этот закон можно сформулировать так: изменение массы газовой среды в помещении за единицу времени равно алгебраической сумме потоков массы через границы рассматриваемой термодинамической системы. Под границей системы здесь подразумевается воображаемая контрольная поверхность, ограничивающая пространство, внутри которого заключена рассматриваемая газовая среда. На рис. 1.1 эта поверхность условно показана пунктирной линией. Часть этой поверхности совпадает с поверхностью ограждений (стены, пол, потолок). Там, где находятся проемы, эта поверхность является воображаемой. Объем пространства, заключенный внутри этой поверхности, называется свободным объемом помещения и обозначается буквой V. Введем следующие обозначения:

a) G_B - расход поступающего воздуха из окружающей атмосферы в помещение, который имеет место в рассматриваемый момент времени процесса развития пожара, кг/с;

б) G_r - расход газов, покидающих помещение через проемы в рассматриваемый момент времени, кг/с;

в) y - скорость выгорания (скорость газификации) горючего материала в рассматриваемый момент времени, кг/с;

г) r_mV - масса газовой среды, заполняющей помещение в рассматриваемый момент времени, кг.

За малый промежуток времени, равный d, будет иметь место малое изменение массы газовой среды. В то же время можно считать, что значения G_r, G_B и y в течение этого малого промежутка времени остаются практически неизменными. С учетом вышесказанного уравнение материального баланса для газовой среды в помещении записывается следующим образом:

, (1.33)

где левая часть уравнения есть изменение массы газовой среды за единицу времени в интервале, равном d. Правая часть есть алгебраическая сумма потоков массы.

Уравнение (1.33) называется уравнением материального баланса пожара.

Аналогичные рассуждения позволяют получить дифференциальные уравнения баланса массы кислорода, баланса продуктов горения и баланса оптического количества дыма.

Уравнение баланса массы кислорода:

, (1.34)

Уравнение баланса токсичного продукта горения:

, (1.35)

Уравнение баланса оптического количества дыма:

, (1.36)

В этих уравнениях использованы следующие обозначения: р, - сред­необъемная парциальная плотность кислорода, кг•м^-3; r₂ - среднеобъемная парциальная плотность токсичного продукта горения, кг•м^-3; _m - средне-объемная оптическая концентрация дыма, Нп•м^-1.

В правой части уравнения (1.34) - уравнения баланса массы кислорода - использованы, кроме ранее указанных, следующие обозначения:

X_1в - массовая доля кислорода в поступающем воздухе; х, = - - средняя

массовая доля кислорода в помещении; L₁ - стехиометрический коэффициент для кислорода (количество кислорода, необходимое для сгорания единицы массы горючего материала), кг/кг;  - коэффициент полноты сгорания; п₁ - коэффициент, учитывающий отличие концентрации кислорода в уходящих газах от среднеобъемной концентрации кислорода.

В правой части уравнения (1.35) - уравнения баланса токсичного продукта горения - использованы, кроме ранее указанных, 'следующие обозначения: L₂ - стехиометрический коэффициент для продукта горения (количество продукта горения, образующегося при сгорании единицы

массы горючего материала), кг/кг; х₂ = - средняя массовая доля токсичного газа в помещении; п₂ - коэффициент, учитывающий отличие концентрации токсичного газа в уходящих газах от среднеобъемной концентрации этого газа.

В правой части уравнения (1.36) - уравнения баланса оптического количества дыма - использованы, кроме ранее указанных, следующие обозначения: п₃ - коэффициент, учитывающий отличие оптической концентрации дыма в уходящих газах от среднеобъемного значения оптической концентрации дыма; F_w - площадь поверхности ограждений (потолка, пола, стен), м²; k_с - коэффициент седиментации частиц дыма на поверхностях ограждающих конструкций, Нп•м^-1. Коэффициент седиментации по физическому смыслу есть скорость осаждения частиц дыма.

На основе первого закона термодинамики выводится уравнение энергии пожара. Рассматриваемая термодинамическая система, т.е. газовая среда внутри контрольной поверхности, характеризуется тем, что она не совершает работы расширения. Кинетическая энергия видимого движения газовой среды в помещении пренебрежимо мала по сравнению с ее внутренней энергией. Потоки массы через некоторые участки контрольной поверхности (проемы) характеризуются тем, что в них удельная кинетическая энергия газа пренебрежимо мала по сравнению с удельной энтальпией.

С учетом всего сказанного получается следующее уравнение энергии пожара:

,(1.37)

Левая часть этого уравнения есть скорость изменения внутренней тепловой энергии газовой среды в помещении за единицу времени в рас­сматриваемый малый промежуток времени dx, т.е.

, (1.38)

В правой части уравнения (1.37) первый член представляет собой количество тепла, поступающего за единицу времени в газовую среду в результате горения (скорость тепловыделения). Второй член есть поток энергии в помещение, поступающий вместе с продуктами газификации (пиролиз, испарение) горючего материала. Здесь величина i_r - энтальпия этих продуктов. Третий член представляет собой сумму внутренней тепловой энергии поступающего за единицу времени воздуха и работы проталкивания, которую совершает внешняя атмосфера. Четвертый член есть сумма внутренней тепловой энергии, которую уносят за единицу времени уходящие газы, и работы выталкивания, которую совершает рассматриваемая термодинамическая система. Пятый член представляет собой тепловой поток, поглощаемый ограничивающими конструкциями и излучаемый через проемы.

Представленные выше пять дифференциальных уравнений содержат шесть неизвестных функций - _m(), p_m() Т_т(),₁ (),₂() и _m(). Эту систему уравнений дополняет алгебраическое уравнение - усредненное уравнение состояния (1.19).

Начальные значения для этих функций задаются условиями, которые имеют место в помещении перед началом пожара, т.е.

(1.39)

Представленная здесь система уравнений описывает свободное развитие пожара. Развитие пожара называют свободным, если не осуществляется тушение, т.е. если в помещение не подаются огнетушащие вещества. Эффекты, обусловленные подачей огнетушащих веществ в объем помещения, можно учесть путем введения в дифференциальные уравнения допол-

нительных членов. Например, при тушении инертными газами (аргон, азот диоксид углерода) уравнение материального баланса пожара записывается следующим образом:

, (1.40)

где G_m - массовый расход подачи огнетушащего вещества, кг•с^-1. Соответствующим образом изменяются в этом случае и остальные дифференциальные уравнения пожара (см. работу [3]).

Как уже говорилось, в уравнениях пожара искомыми (неизвестными) функциями являются среднеобъемные параметры газовой среды, а независимой переменной является время. Кроме этих переменных величин, уравнения содержат целый ряд других физических величин, которые можно разделить на две группы. К первой группе относятся величины, заданные условиями однозначности, которые представляют собой сведения о размерах помещения (объем V и поверхность ограждений F_w) и свойствах горючего материала (теплота сгорания Q^р_н, стсхиометрические коэффициенты L₁ L₂, дымообразующая способность D, энтальпия продуктов газификации i_n)¹. Ко второй группе относятся те величины, которые зави­сят, помимо всего прочего, от параметров состояния среды в помещении. К этим величинам относятся массовые расходы поступающего через проемы воздуха G_B и уходящих через проемы газов G_r, тепловой поток, поглощаемый ограждающими конструкциями и излучаемый через проемы Q_w, коэффициент полноты сгорания , скорость тепловыделения Q^р_н. Для вычисления значений физических величин, относящихся ко второй группе, необходимо располагать дополнительными уравнениями.

Конкретный вид дополнительных уравнений установлен путем привлечения сведений из теории конвективного и лучистого теплообмена, теории газообмена помещения с окружающей атмосферой через проемы из-за различия плотностей наружного воздуха и газовой среды внутри помещения, теории горения.

В заключение необходимо сделать некоторые замечания по поводу общих положений, касающихся сущности описания пожара на уровне осредненных параметров состояния.

В интегральной математической модели мы оперируем с интегральными характеристиками термодинамической системы. Этот подход не требует каких-либо допущений и оговорок о том, как распределены локальные значения термодинамических параметров состояния по объему помещения. Здесь не уместны оговорки такого, например, типа: "предположим, что температурное поле является однородным", или часто используемое выражение о "размазанности" того или иного параметра состояния газовой среды.

Естественным является вопрос о том, как определить значение того или иного термодинамического параметра состояния в заданной точке объема помещения, если будет известно среднеобъемное значение. К этому вопросу мы вернемся в параграфах, посвященных интегральной математической модели пожара.

Здесь лишь отметим, что процесс развития пожара в помещении можно расчленить на ряд характерных временных этапов. Каждому этапу присущи характерные законы распределения локальных термодинамических параметров состояния внутри помещения. Это обстоятельство используется для ответа на поставленный здесь вопрос.