Матрицы и операции над ними.

Определение. Матрицей называется множество чисел, которое составляет прямоугольную таблицу, состоящее из m строк и n столбцов

коротко матрицу обозначают так:

где элементы данной матрицы, I – номер строки, j – номер столбца.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной n-го порядка, а в противном случае – прямоугольной.

Если m=1 и n >1, то получаем однострочную матрицу

которая называется вектор-строкой, если, же m>1 и n=1, то получаем одностолбцовую матрицу

,

которая называется вектор-столбцом.

Две матрицы иравны, если равны между собой элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть если

при всех i и j (при этом число строк (столбцов) матриц A и B должно быть одинаковым).

1. Суммой двух матриц A=(a_ij) и B=(b_ij) с одинаковым количеством m строк и n столбцов называется матрица C=(c_ij), элементы которой определяются равенством

Сумму матриц обозначают C=A+B.

Пример.

.

2⁰. Произведением матрицы A=(a_ij) на число λ называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число λ:

λA=λ(a_ij)=(λa_ij), (i =1,2…,m ; j=1,2…,n ).

Пример.

3⁰. Произведением матрицы A=(a_ij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу B=(b_ij), имеющей k строк и n столбцов, называется матрица C=(c_ij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B, то есть

При этом число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B. В противном случае произведение не определено. Произведение матриц обозначается A*B=C.

Пример.

Для произведения матриц не выполняется равенство между матрицами A*B и B* A, в общем случае одна из них может быть не определена.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Пример. Пусть ,, тогда согласно правилу умножения матриц имеем

=

и

,

откуда заключаем, что

и

Возникает вопрос, можно ли для квадратной матрицы А подобрать некоторую матрицу, такую что умножив на нее матрицу А в результате получить единичную матрицу Е, такую матрицу называют обратной к матрице А. Ответ на этот вопрос мы дадим на лекции 9.