Формула Бернулли. Предельные теоремы.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Здесь нами рассматриваются независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.

Формула Бернулли. Вероятность того, что п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<p<1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна

или

где

Вероятность того, что событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз – находят соответственно по формулам:

а)

б)

в)

г)

Для достаточно больших значений n вычисления по выше указанным формулам практически невозможны. В этом случае можно воспользоваться так называемыми предельными теоремами.

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0<p<1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна

где

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0<p<1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ , приближенно равна

где

- функция Лапласа.