Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Кривая, заданная функцией y=f(х), называется выпуклой в ин­тервале (а; b), если все точки кривой лежат не выше любой ее касатель­ной в этом интервале, и вогнутой в интервале (а; b), если все ее точки лежат не ниже любой ее касательной в этом интервале.

Точка кривой М (х₀, f(х₀)) отделяющая выпуклую ее часть от вогну­той, называется точкой перегиба кривой. Предполагается, что в точке М существует касательная.

Теорема 4 (достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции). Если во всех точках интервала (а;b) вторая производная функции у=f(x) отрицательна (положительна), т. Е. f»(х)<0 (f»(x)>0), то кривая у=f(x) в этом интервале выпукла (вогнута).

В точке перегиба, отделяющей промежуток выпуклости от про­межутка вогнутости, вторая производная функции изменяет свой знак, поэтому в таких точках вторая производная функции или обращается в нуль, или не существует.

Теорема 5 (достаточный признак точки перегиба). Если в точке х = х₀ f»(х₀)=0 или f»(х₀) не существует и при переходе через эту точку производная f»(х) меняет знак, то точка с абсциссой х=х₀, кривой у=f(x) – точка перегиба.

Лекция 17