Лекции 29. Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения I порядка.

Понятие о дифференциальном уравнении.

Теория дифференциальных уравнений широко используется в естествознании и технике. В частности, при решении многих физических задач приходится находить неизвестную функцию по данному соотношению между неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными.

С формальной точки зрения задача решения дифференциального уравнения есть задача, обратная дифференцированию. Однако в теории дифференциальных уравнений приходится не только интегрировать заданное дифференциальное уравнение для отыскания искомой функции, но и зачастую по условию той или иной задачи составлять это уравнение и затем решать его.

Дифференциальнымназывают такое уравнение, в котором неизвестной является функция одной или нескольких переменных, причем в уравнение входит не только сама функция, но и ее производные.

Если неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным, если же – функцией нескольких переменных, то –дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядок наивысшей производной (или дифференциала), входящей в дифференциальное уравнение, называется порядкомуравнения.

В общем виде обыкновенное дифференциальное уравнение -го порядка можно записать так:

.

Например, есть дифференциальное уравнение второго порядка.

Любая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется решением илиинтеграломэтого уравнения.

Решение дифференциального уравнения (если оно существует), в котором число произвольных постоянных равно порядку уравнения, называется общим решениемданного дифференциального уравнения.

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка записывается так:

.

Решения дифференциального уравнения при определенных значениях произвольных постоянных называется частным решением. Условия, которым должно удовлетворять искомое частное решение данного дифференциального уравнения, называютсяначальными условиями. Задача отыскания конкретного частного решения данного дифференциального уравнения по начальным данным называетсязадачей Коши.

Так как каждое частное решение данного дифференциального уравнения есть некоторая функция одной переменной, то в прямоугольной системе координат на плоскости этому решению соответствует некоторая линия. Она называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения. Общему же решению дифференциального уравнения соответствует множество всех интегральных кривых этого уравнения, которое называется семейством интегральных кривых дифференциального уравнения.

Лекция 34,35

Дифференциальные уравнения первого порядка. Виды уравнений

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида: или. Его общее решение содержит одну произвольную постояннуюС:.

Дифференциальные уравнения первого порядка иногда удобно записывать и в виде:

.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

Если функции иразлагаются на множители:, а, тогда уравнение вида:

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Предположив, что , и разделив обе части первого уравнения на, получим уравнение с разделенными переменными:

,

которое интегрируется:

.

Вычисление полученных интегралов и дает общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

Функция называетсяоднородной функцией измерения () относительно аргументовхиу, если равенствосправедливо для любого, при котором функцияопределена.

Если , то функция будет однородной нулевого измерения.

Дифференциальное уравнение первого порядка называетсяоднородным, если и- однородные функции отхиуодинакового измерения, т.е.Действительно, переписав его в виде:легко заключаем, что- однородная функция нулевого измерения, поскольку:

Так как однородное дифференциальное уравнение первого порядка всегда можно записать в виде то, положив, получим:

Данное уравнение решается с помощью замены и сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительнохи новой функции:

. Отсюда следует:. Разделив переменные и выполнив почленное интегрирование, находят общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

Дифференциальное уравнение первого порядка:

называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции у и ее производной , гдеи- непрерывные функции отх.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если , в противном случае ононеоднородное.

Линейное дифференциальное уравнение можно проинтегрировать методом Бернулли, суть которого заключается в следующем. Представим искомую функцию в виде произведения двух неизвестных функцийипо формуле(подстановка Бернулли). Тогда Подставив выражения дляу и у’ в линейное дифференциальное уравнение, получим:

,

которое преобразуем к виду:

.

Так как , то интегрирование данного вида уравнения сводится к интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными:

и

Найдя общее решение из первого уравнения, а затем и из второго уравнения, придем к общему решению линейного уравнения:.

Дифференциальное уравнение

где , называетсяуравнением Бернулли.

Путем введения новой функции по формуле, откуда, уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению относительно этой функции:

Уравнение Бернулли, как и линейное уравнение можно решить с помощью подстановки Бернулли

Лекция30.