Содержание домашних заданий

Домашнее задание № 1. Умножить матрицу А на В: С=АВ:

1) ;. 2); В=А, С=А². Определить ранг матрицы А: 3) ;

4) . 5) Найти матрицы, обратные к матрицам А и В:,. Убедиться, что матрицы А и В взаимно обратны, т.е. А=В^-1. 6) Исследовать неоднородную систему на совместность и найти общее или единственное решение в случае совместности системы: . 7) Вычислить определитель матрицы и найти обратную:.

3. Домашнее задание № 2. 1) Даны векторы и. Найти косинус угла между векторамии.

2) При каком значении векторыиортогональны (угол между ними равен)? Векторы и.

3) Найти угол между векторами и, если,.

4) Составить уравнения всех высот треугольника с вершинами А(3,2), В(5,-2) и С(1,0). Найти длины высот.

5) Даны координаты вершин прямоугольной трапеции А(5,-1), С(7,3), D(9,-1) с основаниями AD и BC. Написать уравнения всех сторон трапеции. Вычислить ее высоту.

6) Привести к каноническому виду уравнение кривой . Определить ее тип, вычислить основные параметры.

7) Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀(1,-1,1) и имеющий направляющий вектор .

Домашнее задание № 3. Найти пределы: 1) ; 2);

3) ; 4); 5); 6);

7) Найти точки разрыва непрерывности функции ; 8) Показать, что функцияв точкеx=0 имеет разрыв непрерывности.

Домашнее задание № 4. Найти производную от неявных функций:

1) ; 2)xsiny+ysinx=0. Найти производные функций:

3) ; 4); 5);

6) ; 7).

Домашнее задание № 5.

1) Найти интервалы монотонности функции . Вычислить наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке.

2) Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

3) Исследовать функцию и построить ее график

Домашнее задание № 6. Найти неопределенные интегралы:

1) ; 2); 3); 4); 5).

Найти определенные интегралы:

6) ; 7); 8); 9); 10).

Домашнее задание № 7. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1) ; 2); 3);

4) ; 5).

Домашнее задание № 8.

1. Исследовать сходимость ряда: ;

2. Исследовать сходимость ряда ;

3. Исследовать сходимость ряда: ;

4. Найти сумму ряда: ;

5. Пользуясь признаком Даламбера, исследовать сходимость ряда: .

Домашнее задание № 9.

1) В коробке имеется 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди извлеченных двух изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

2) Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго -0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

3) Вероятности того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором, третьем, четвертом ящике соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятности того, что деталь содержится: а) не более чем в трех ящиках, б) не менее чем в двух ящиках.

4) В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность тго, что взят белый шар.

5) Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз, б) не менее двух раз.

6) В партии из шести деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х –числа стандартных деталей среди отобранных.

7) Найти математическое ожидание случайной величины Z=3X+4Y, если известно, что M(X)=2, M(Y)=6.

Домашнее задание № 10.

1) Независимые случайные величины X₁ и X₂ распределены нормально, MX₁=2, DX₁=4; MX₂=-3, DX₂=9. Записать плотность распределения Y=2X₁+3X₂-1.

2) Тело взвешивается на аналитических весах. Истинное значение веса нам неизвестно. Вследствие наличия ошибок результат взвешивания случаен и распределяется по нормальному закону с параметрами m и . Систематической ошибки аналитические весы не имеют. Чтобы избежать ошибок взвешивания, пользуются следующим приемом: взвешивают телоn раз и в качестве приближенного значения веса берут среднее арифметическое результатов n взвешиваний: . Определить плотность распределения случайной величиныY.

3) Найти плотность распределения суммы четырех нормально распределенных случайных величин с параметрами 0 и 1, сели известно, что эти величины имеют одинаковый коэффициент корреляции, равный 0,5.

4) Сдается 400-квартирный дом. Вероятность того, что в одной квартире будут обнаружены строительные недоделки, равна 0,2. Найти вероятность того, что недоделки будут обнаружены не более чем в 50 квартирах.

5) На телефонную линию приходят вызовы с интенсивностью 0,8 (вызовов в минуту). Средняя продолжительность разговора 1,5 мин. Все потоки событий – простейшие. Определить вероятность отказа Р_отк..

Домашнее задание № 11.

1) По данным выборки объема n из генеральной совокупности нормально распределенного количества признака найдено исправленное среднее квадратичное отклонение s. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,999, если: а) n=10, s=5,1; б) n=50, s=14.

2) Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема n=100:

х_i 2 3 7 9 11 12,5 16 18 23 26 26

n_i 3 5 10 6 10 4 12 13 8 20 9.

3) Стоимость акций по годам некоторой фирмы указана в таблице:

Для выявления тенденции стоимости на ближайший год найти методом наименьших квадратов по этим данным прямую линию, вычислить прогнозируемое значение стоимости акций на 1997 г. и построить для этого значения доверительный интервал.

Домашнее задание № 12.

1) В таблице представлены дефляторы цен для личных потребительских расходов на услуги стоматологов (млрд. долл.) с 1974 по 1983 гг. (США)

Вычислить выборочное среднее.

2) В таблице представлен ряд данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. долл.) с 1966 по 1975 гг. (США)

Рассчитать выборочную диспресию.

3) В таблице представлены дефляторы цен для личных потребительских расходов на услуги стоматологов (млрд. долл.) с 1974 по 1983 гг. (США)

Найти ковариации для =0,1,2.

4)В таблице представлены данные по ежегодному производству товара Х с 1969 по 1987 гг.

Годы	Расходы
1969	43
1970	46
1971	43
1972	44
1973	45
1974	41
1975	42
1976	45
1977	44
1978	45
1979	43
1980	47
1981	44
1982	45
1983	42
1984	45
1985	43
1986	44
1987	43

С помощью критерия, основанного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда.

Домашнее задание № 13.

1) Оцените параметры предполагаемой линейной зависимости объемов производства мяса от поголовья скота, если подсчитаны средние по производству мяса (6,8) и по поголовью скота (47,3), вариация ряда по поголовью скота=56,9, ковариация=11,2.

2) Определить остаток в первом наблюдении, если уравнение регресии имеет вид у=0,20х-2,24. Ряды значений:

Ряд х 57 54,7 52,2 48,9 43,3 39,7 35,1

Ряд у 9,37 8,26 7,51 6,8 5,79 5,33 4,85.

3) Оценить корреляцию между двумя величинами, если ковариация между двумя рядами наблюдений за этими величинами составляет 11,17, вариация первого ряда 59,86, а второго ряда 2,32.

4) Рассчитатйте вариации и парные ковариации для рядов, отражающих производство, импорт и личное потребление молока (млн. т.)

5) Анализируется зависимость потребления мяса от его производства и вличины импорта. Используя данные и результаты решения задания 4) рассчитайте коэффициенты независимых переменных в уравнении линейной регрессии.

6) Рассчитайте коэффициент а для регрессии, описывающей зависимость потребления молока от его производства и импорта (см. Задания 4) и 5)). Используйте результаты решения задач 4) и 5).

Домашнее задание № 14.

1) Для рассчитанного уравнения регресии определена ESS=15,37. Найти коэффициент детерминации, если TSS составляет 16,21.

2)Вычислить коэффициент детерминации для регрессии, характеризующей зависимость потребления молока от его производства и импорта, используя суммы квадратов отклонений. (данные из ДЗ№13).

3)Для оценки возможного уровня мультиколлинеарности регрессии для молока, определите коэффициент корреляции между объясняющими переменными. Используйте результаты решения задания 4) из ДЗ№13.

4) Определите несмещенную оценку параметра модели регрессии для потребления молока .

Домашнее задание № 15.

1) Представьте графически ряды наблюдений по поголовью крупного рогатого скота и производству молока и проведите линию регрессии.

Поголовье скота 57 54,7 52,2 48,9 43,3 39,7 35,1

Произ-во молока 1,49 1,38 1,29 1,1 0,99 0,9 0,88

2) Для двух рядов наблюдений рассчитана cov(x,y)=-4,32, var(x)=7,24, var(y=2,64. Рассчитайте выборочную корреляцию между двумя рядами наблюдений.