logo
UMKD_po_VM

Прямая на плоскости.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии.

Определение. Уравнение F(x, y)=0 называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Любая прямая на плоскости задается уравнением первой степени относительно переменных х и у.

Прямую можно задать одним из следующих уравнений:

  1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k (k – тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox)

у=kх+b (1)

  1. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку

)

  1. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

  1. Уравнение прямой в «отрезках»

здесь a и b –отрезки, которые отсекает прямая на осях Ох и Оу соответственно.

  1. Нормальное уравнение прямой

здесь р – длина перпендикулярна, опущенного из начала координат на прямую, a -угол образованный этим перпендикуляром с положительным направлением осиОх.

  1. Уравнение прямой проходящей через точку , в данном направлении

  1. Общее уравнение прямой

Ax=By+С=0. (7)

Здесь A, B и C постоянные коэффициенты, причем Если какой-то коэффициент равен 0, то получаем неполные уравнения прямой.

А) Если А=0, тогда By+C=0 это уравнение определяет прямую, параллельную оси Ох.

б) Если В=0, то уравнение Ax+C=0 определяет прямую, параллельную оси Оу.

в) Если С=0, то уравнение Ax+By=0 задает прямую, проходящую через начало координат.

Г) Если А=С=0, то уравнение By=0 определяет прямую совпадающую с осью Ох.

Д) При В=С=0 прямая Ах=0 совпадает с осью Оу.

Прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или перпендикулярными.

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y=k1x+b1 и y=k2x+b2 , (8)

то острый угол между прямыми определяется по формулам

. (9)

Если же прямые заданы общими уравнениями

А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0, (10)

то угол между ними можно найти по формулам

(11)

Пусть прямые заданы уравнениями (8). Прямые параллельны, если tg a=0, тогда

k2=k1 (12)

условие параллельности двух прямых. Условие перпендикулярности определяет равенство

(13)

Если прямые заданы уравнениями (10), то условия параллельности и перпендикулярности примут вид:

, (14)

А1А2+В1В2=0. (15)

Лекция 5