Интегрирование рациональных функций.

Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют рациональные функции, то есть функции, которые можно представить в виде дроби

где P(x), Q(x) – многочлены.

Если степень многочлена в числителе равна или больше степени многочлена в знаменателе, то, выполнив деление, получим

где W(x) – некоторый многочлен, а R(x) – многочлен степени ниже, чем Q(x).

Пример.

Многочлен W(x) представляет собой линейную комбинацию целых неотрицательных степенейx и поэтому может быть проинтегрирован. Теперь рассмотрим вопрос интегрирования правильной дроби из последнего соотношения.

Знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида иа дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом

Интегралы данных дробей приводятся к интегралам следующего вида

Интеграл вычисляется по рекуррентной формуле

Таким образом, можно сделать вывод о том, что всякая рациональная функция может быть проинтегрирована в элементарных функциях.

Лекция 22