Непрерывность функции. Классификация точек разрыва функции.

Функция у=f(х) называется непрерывной при х=x₀ (в точке x₀), если:

1. функция f(х) определена в точке x₀ и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции f(х) в точке x₀;

3. этот предел равен значению функции в точке x₀ , то есть

(2)

Если положить х=x₀+, то условие непрерывности (2) будетравносильно условию

т. Е. функция у=f(х) непрерывна в точке x₀ тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции .

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Точка x₀, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непре­рывности функции, называется точкой разрыва функции. Если в точке x₀ существуют конечные пределы f(x₀-0) и f(x₀ +0), такие, что f(x₀-0)f(x₀+0), то x₀ называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов f(x₀-0) и f(x₀+0) не существует или равен бесконечности, то точку x₀ называют точкой разрыва второго рода. Если f(x₀-0)=f(x₀ +0) и функция f(х) не определена в точке x₀, то точку x₀ называют устранимой точкой разрыва функции.

Лекция 12