Приложения определенного интеграла.

В декартовой системе координат за основную фигуру, площадь которой выражается определенным интегралом, принимается криволинейная трапеция. Если y=f(x) – уравнение линии, ограничивающей трапецию, то площадь трапеции S (в предположении, что y0) равна S=, где пределы интегрированияa и b(a<b)  абсциссы начала и конца линии.

Если линия задана параметрическими уравнениями xt y=(t), то совершая подстановку в интеграле по формуле xt получим

S=,

где t₁ и t₂ значения, между которыми изменяется параметр t, когда точка пробегает слева направо всю линию, ограничивающую трапецию сверху.

Пример. Найти площадь S фигуры, ограниченной эллипсом

Имеем S=2,y0. Удобно перейти к параметрическому виду: x=a cos t, y=b sin t. Тогда

S= 2ab=2ab = ab.

Если линия, ограничивающая фигуру, задана уравнением в полярной системе координат, то в качестве основной фигуры принимается криволинейный сектор  фигура, ограниченная линией r=f(), с которой любой луч, исходящий из полюса P, пересекается не более, чем в одной точке, и двумя лучами = и =:

В результате вывода получается формула для вычисления площади фигуры, заключенной между лучами = и =:

S=.

Пусть дано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, пусть известна площадь любого его сечения, проведенного плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой, например к оси абсцисс:

При этом можно считать, что площадь такого сечения является известной нам функцией S(x), где x – абсцисса точки пересечения указанной плоскости с осью х. Далее предполагается, что все тело заключено между двумя перпендикулярными к оси х плоскостями, пересекающими ее в точках a и b (a<b). Для определения объема такого тела разобьем его на слои с помощью секущих плоскостей, перпендикулярных к оси х и пересекающих ее в точках x₀=a, x₂,…, x_n=b. Каждый слой заменим цилиндром с той же высотой и основанием, равным S(x). Объем прямого цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. Объем вычисляют как предел при n суммы объемов, образующих ступенчатое тело и получаем

V=

Если тело получено вращением криволинейной трапеции, ограниченной линией y=f(x), вокруг оси Ох, то поперечным сечением с абсциссой х служит круг, радиус которого равен соответствующей ординате линии y=f(x)

S(x)=y²  V_x=, где y=f(x).

Получена формула объема тела, полученного вращением линии y=f(x) вокруг оси Ох. Аналогично получается формула объема тела, полученного вращением трапеции вокруг оси Оу. Там возможны две формулы:

V_y= или V_y=, где c и d на оси Оу.

Длина дуги AB кривой y=f(x) есть предел длины вписанной в нее ломаной при неограниченном увеличении числа ее сторон и при стремлении наибольшей из этих сторон к нулю:

Линия AB задана уравнением y=f(x). Длина дуги AB вычисляется по формуле

L= или L=.

Если dx внести под знак корня, то формулу можно переписать в виде

L=.

Если уравнение линии задано параметрически: x=x(t), y=y(t) и t_1,t₂ – значение параметра t, соответствующие концам дуги, причем t₁<t₂, то

L=

Пусть теперь линия задана уравнением в системе полярных координат: r=r(). Рассматривая в зависимостях x=rcos, y=rsin полярный угол  в качестве параметра, получим

dx=(rcosrsin)d, dy=(rsin+rcos)d, что дает и, значит,

L=, ,

где  и  - значения полярного угла соответственно начала А и конца В дуги.

Тело получено вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху линией y=f(x), прямыми x=a и y=b, осью Ох. Площадь поверхности вращения для данного тела определяется по формуле

Q=2 или Q=2,

где  дифференциал длины дуги.

Лекции 25.

Понятие функции нескольких переменных,

предел и непрерывность функции многих переменных.

До сих пор мы рассматривали функции одной переменной, то есть функции, значения которых зависят от значений одной независимой переменной. При рассмотрении многих вопросов естествознания приходится иметь дело с такими зависимостями между переменными величинами, в которых числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других. Так, например, площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и y, определяется значениями двух переменных x и у, а объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны x, у, z – значениями трех переменных x, y и z. Примеров таких зависимостей можно привести сколько угодно.

Эта часть курса посвящается рассмотрению такого рода зависимостей. С этой целью вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций. Здесь мы подробно остановимся на функции двух переменных, при этом стоит заметить, что обобщение определений и результатов на функции трех и более переменных не содержит принципиальных отличий.

Определение 1. Пусть X, Y и Z – некоторые числовые множества. Функцией двух переменных называется множество f упорядоченных троек чисел (x; у; z) таких, что xX, уУ, zZ и каждая Упорядоченная пара чисел (x; у) входит в одну и только одну тройку этого множества, а каждое z входит, по крайней мере, в одну тройку. При этом говорят, что упорядоченной паре чисел (x; у) поставлено в соответствие число z, и пишут z=f (x; у). Число z называется значением функции f в точке (x; у). Переменную z называют, зависимой переменной, а переменные x и у – независимыми переменными (или аргументами); множество {(x; у)} – областью определения функции, а множество z – множеством значений функции.

Функцию двух переменных обозначают следующими символами z=z(x; у), z=f (x; у) и так далее.

Способы задания функции двух переменных, как и в случае одной переменной, могут быть различными. В примерах мы используем, как правило, аналитический способ задания, когда функция задается с помощью формулы. Областью определения функции, в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл.

Рассмотрим понятие предела функции двух переменных, с этой целью введем понятия δ-окрестности данной точки M₀(х₀; y₀) и сходящейся последовательности точек плоскости.

Определение 2. Множество {М(x; у)} всех точек, координаты x и у которых удовлетворяют неравенству (x – x₀)² + (y – y₀)²< δ², или, короче, ρ(М; М₀)<δ, называется δ – окрестностью М₀ (x₀; y₀).

Рассмотрим последовательность точек М₁ (x₁; y₁), М₂ (x₂; y₂), …, М_n (x_n; y_n), … Будем кратко обозначать эту последовательность символом {М_n}.

Определение 3. Последовательность точек {М_n} называется сходящейся к точке М₀, если для любого ε>0 существует номер N₀ такой, что при п>N₀ выполняется неравенство ρ(М; М₀)<δ. При этом точка М₀ называется пределом последовательности {М_n} и обозначается илипри.

Определение 4. Число A называется пределом функции z=f(M) точке М₀, если для любой сходящейся к М₀ последовательности точек М_n последовательность значений функции f (М₁), f(М₂), …, f(М_n), … сходится к A.

Стоит отметить, что и как в случае функции одной переменной, для предела функции многих переменных многие свойства сохраняются.

Теорема 1. Пусть функции f (М) и g (М) определены на одном и том же множестве {M} и имеют в точке М₀ пределы B и C. Тогда функциии(С≠0) имеют в точке М₀ пределы, равные соответственно и

Понятие непрерывности функции многих переменных вводится на основе понятия предела. Пусть на некотором множестве {М} определена функция f(М), точка М₀{М} и любая δ-окрестность точки М₀ содержит точки множества {М}.

Определение 5. Функция z=f(М) называется непрерывной в точке М₀, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. Е.

или

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

На некотором классе множеств непрерывные функции обладают такими же свойствами что непрерывные функции одной переменной на отрезке, а именно справедливы многомерные аналоги теорем Больцано-Коши и Вейерштрасса:

1. Если функция z=f(М) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она ограничена в этой области.

2. Если функция z=f(М) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.

3. Если функция z=f(М) непрерывна в области, то она принимает все промежуточные значения между любыми своими значениями.

Лекция 26.