Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных.

Пусть функция z=f(M) определена в некоторой окрестности точки М(x; у). Придадим переменной x в точке М произвольное приращение Δx, оставляя значение переменной y неизменным, т. Е. перейдем на плоскости от точки М (x; у) к точке M₁ (x+ Δx; у). При этом Δx таково, что точка M₁ лежит в указанной окрестности точки М. Тогда соответствующее приращение функции Δ_xz= f (x+ Δx; у)- f (x; у)

называется частным приращением функции по переменной x в точке М (х; у). Аналогично определяется частное приращение функции по переменной y Δ_yz= f (x; у+ Δy)- f (x; у).

Определение 1. Если существует предел

то он называется частной производной функции z=f(M) в точке М по переменной x (по переменной y) и обозначается одним из следующих символов:

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по переменной x представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной x при фиксированном значении переменной y. Поэтому частные производные вычисляются по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной.

Определение 2. Полным приращением функции z=f(M) в точке М(x; y), соответствующим приращениям Δx и Δy переменных x и y, называется функция Δz= f (x+Δx; у+Δy)- f (x; у).

Определение 3. Функция z=f(M) называется дифференцируемой в точке M, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

где A и B – некоторые не зависящие от Δx и Δy числа, а α(Δx; Δy)и β(Δx; Δy) – бесконечно малые при Δx→0, Δy→0 функции.

Известно, что если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна и имеет производную в этой точке. Из существования производной функции одной переменной в данной точке следует дифференцируемость функции в этой точке. Выясним, как переносятся эти свойства на функции двух переменных.

Теорема 1. Если функция z=f(M) дифференцируема в точке M, то она непрерывна в этой точке.

Теорема 2. Если функция z=f(M) дифференцируема в точке M(x; y), то она имеет в этой точке частные производныеи,причем

,

Однако в отличие от функции одной переменной, существования частных производных не достаточно для дифференцируемости функции.

Теорема 3 (Достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z=f(M) имеет частные производные в некоторой δ-окрестности точки M и эти производные непрерывны в самой точке M, то функция дифференцируема в точке M.

Лекция 27