Кривые 2-го порядка.

К кривым 2-го порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Определение 1. Окружность – это геометрическое место точек плоскости равноудаленных от данной точки (центра), расстояние на которое удалены точки окружности от центра называется радиусом.

Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке O (a; b) имеет вид

Определение 2. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначают 2а), большая, чем расстояние между фокусами (2а>2с).

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где . Числоc – половина расстояния между фокусами, числа a и b называют большой и малой полуосями эллипса. В случае a=b эллипс представляет из себя окружность радиуса a с центром в начале координат. Форма эллипса характеризуется эксцентриситетом

Расстояние от некоторой точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки. Они вычисляются по следующим формулам

,

здесь знак «+» берется для левого фокального радиус-вектора, а знак «-» – для правого фокального радиус вектора.

Определение 3. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусам, есть величина постоянная (обозначают 2а), меньшая, чем расстояние между фокусами (2а<2с).

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

где . Числоc – половина расстояния между фокусами, числа a и b называют действительной и мнимой полуосями гиперболы. Форма гиперболы характеризуется эксцентриситетом

Расстояние от некоторой точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки. Они вычисляются по следующим формулам

,

здесь знак «+» берется для левого фокального радиус-вектора, а знак «-» – для правого фокального радиус вектора.

Если a=b, то уравнение

или

определяет равнобочную гиперболу.

Две гиперболы, определяемые уравнениями

называются сопряженными.

Определение 4. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы является прямая , а фокусом – точкаF(p/2;0), то уравнение параболы имеет вид

Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс. Длина фокального радиуса – вектора определяется по формуле

Уравнение

является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат.

Лекция 6