Производные высших порядков. Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения.

Производной второго порядка или второй производной функции у=f(х) называется производная от ее первой производной, т. Е. (у')'. Обозначается вторая производная одним из следующих символов: у», f''(х), .

Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то s'=- скорость, аs»=- ускорение этой точки.

Если зависимость функции у от аргумента х задана в параметрическом виде уравнениями х=х(t), у=у(t), то:

(3)

где штрих обозначает производную по t.

Производной n-го порядка функции у=t(х) называется производная от производной (n-1)-го порядка данной функции. Для n-й производной употребляются следующие обозначения: у⁽ⁿ⁾, f⁽ⁿ⁾(х), . Таким образом,

.

Дифференциалом первого порядка функции у=f(x) называется главная, часть ее приращения, линейно зависящая от приращения независимой переменной х. Дифференциалфункции равенпроизведению ее производной и дифференциала независимой переменной поэтому –справедливо равенство

Из рисунка видно, что еслиМN- дуга графика функции МТ – касательная, проведенная к нему в точке М(х, у), и то CT=dy, а отрезок Дифференциал функцииdy отличается от ее приращенияна бесконечно малую высшего порядка по сравнению с

Непосредственно из определения дифференциала и правил нахождения производных имеем:

1)

2) еслих – независимая переменная;

3)

4)

5)

6)

7)

Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка этой функции, т. Е. dⁿy=d(d^n-1y).

Если дана функция у=f(х), где х – независимая переменная, то d²у= у»dх², d³у=у'»dх³, …, dⁿу= y⁽ⁿ⁾dxⁿ.

Если у=f(u), где u=(x), то d²y=y^//(du)²+y^/d²u , где дифференцирование функции y выполняется по переменной и. (Это имеет место и для дифференциалов более высоких порядков.)

Так как дифференциал функции отличается от ее приращения на бесконечно малую величину высшего порядка по сравнению с величиной dх, то или , откуда .

Полученная формула часто применяется для приближенного вы­числения значений функции при малом приращении независимой переменной х.

С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции , если известна абсолютная погрешностьаргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.

Пусть требуется вычислить значение функции у=f(х) при некотором значении аргументах, истинная величина которого нам неизвестна, но дано его приближенное значениеx₀с абсолютной погрешностью: х=x₀+dх,Тогда

Отсюда видно, что=Относительная погрешность функциивыражается формулой

=

Лекция 14